Um disco de plástico de raio R possui uma carga total q, distribuída uniformemente em sua superficie. Se o disco gira em torno do seu eixo com uma velocidade angular omega, mostre que o momento de dipolo magnético do disco será dado por
mu=omega q R^24

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um disco de plástico de raio com carga total espalhada uniformemente na superfície. Ele gira em torno do eixo central com velocidade angular . A pergunta é: qual é o momento de dipolo magnético desse disco?
Conteúdo envolvido: eletromagnetismo (campo magnético gerado por correntes), definição de corrente para carga em rotação e fórmula do momento de dipolo magnético de uma corrente. Vamos precisar de:
  1. densidade de carga superficial ,
  2. relação entre rotação da carga e corrente elétrica,
  3. definição de momento magnético de um loop de corrente .

Passo 2

Primeiro a densidade de carga superficial sigma = qpi R^2 . Como a carga total está uniformemente espalhada em toda a área do disco , temos

Passo 3

Vamos “fatiar” o disco em anéis concêntricos. Pegue um anel de raio dQ = sigmacdot (área do anel) = sigmacdot 2pi r,dr e largura dI = dQT = sigmacdot 2pi r,dr2pi/omega = sigma,omega,r,dr .
  • A carga nesse anel é á
  • Esse anel gira com velocidade angular , então faz uma volta em . Isso equivale a uma corrente

Passo 4

Cada anel atua como um loop de corrente de intensidade dmu = dI cdot Arm anel = (sigma,omega,r,dr),l(pi r^2r) = sigma,omega,pi,r^3,dr e área mu = integral0^R sigma,omega,pi,r^3,dr = sigma,omega,pi ,R^44 = gl(qpi R^2gr)omega,pi,R^44 = omega,q,R^24 . O momento de dipolo magnético diferencial é
Para achar o momento total, integramos de até :

Resposta

boxedmu = omega,q,R^24

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