Mostre que o campo magnético de um solenóide é dado pela Eq. 34-7. Não use a lei de Ampère; faça a demonstração dividindo o solenóide em espiras de corrente infinitesimais e integrando ao longo do solenóide.

Passo 1

Beleza! A questão pede pra mostrar que, dentro de um solenóide longo, o campo magnético vale
B = mu0,n,I ,
onde dB = mu04pi,I,delltimes rr^2 é o número de espiras por unidade de comprimento e Brm espira(z) = mu0,I,R^22,(R^2 + z^2)^3/2, a corrente.
Conteúdo: vamos usar a Lei de Biot–Savart, dividir o solenóide em “fatias” de espiras infinitesimais e somar (integrar) o campo que cada uma gera no centro.
O que precisamos saber antes de começar:
  1. A forma diferencial da Lei de Biot–Savart:
  2. O resultado (ou como derivar) do campo de uma espira circular de raio no ponto do seu eixo a uma distância :

Passo 2

Vamos modelar o solenóide como um cilindro de raio dN = n,dz e espiras densas, com densidade linear (espiras por metro). Cortamos ele em fatias de espira de espessura . Cada fatia tem
espiras, e cada espira carrega a mesma corrente .

Passo 3

Campo de uma única espira no eixo
A gente já sabe (ou pode obter via Biot–Savart) que, no eixo da espira a distância Brm espira(z) = mu0,I,R^22,(R^2 + z^2)^3/2,, do seu plano, o módulo é
toda vez apontando na direção do eixo (direção se a corrente for no sentido certo).

Passo 4

Campo de uma fatia de espiras
A fatia em dB(z') = dN;times Brm espira(z') = n,dz';mu0,I,R^22,(R^2 + z'^2)^3/2, tem voltas idênticas, então contribui com

Passo 5

Integrar ao longo de todo o solenóide
Para um solenóide idealmente infinito, integramos B = integral-infty^+infty dB(z') = mu0,I,n,R^22integral-infty^+inftydz'(R^2 + z'^2)^3/2, de integral-infty^+inftydz'(R^2 + z'^2)^3/2 = [z'R^2raizR^2 + z'^2]-infty^+infty = 1R^2l(+1 - (-1)r) = 2R^2 a B = mu0,I,n,R^22times2R^2 = mu0,n,I :
Agora a integral padrão:
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Resposta

boxedB = mu0,n,I

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