Mostre que o campo magnético de um solenóide é dado pela Eq. 34-7. Não use a lei de Ampère; faça a demonstração dividindo o solenóide em espiras de corrente infinitesimais e integrando ao longo do solenóide.
Passo 1
Beleza! A questão pede pra mostrar que, dentro de um solenóide longo, o campo magnético vale
onde
é o número de espiras por unidade de comprimento e
a corrente.
Conteúdo: vamos usar a Lei de Biot–Savart, dividir o solenóide em “fatias” de espiras infinitesimais e somar (integrar) o campo que cada uma gera no centro.
O que precisamos saber antes de começar:
Conteúdo: vamos usar a Lei de Biot–Savart, dividir o solenóide em “fatias” de espiras infinitesimais e somar (integrar) o campo que cada uma gera no centro.
O que precisamos saber antes de começar:
- A forma diferencial da Lei de Biot–Savart:
- O resultado (ou como derivar) do campo de uma espira circular de raio
no ponto do seu eixo a uma distância :
Passo 2
Vamos modelar o solenóide como um cilindro de raio
e espiras densas, com densidade linear
(espiras por metro). Cortamos ele em fatias de espira de espessura
. Cada fatia tem
espiras, e cada espira carrega a mesma corrente
.
Passo 3
Campo de uma única espira no eixo
A gente já sabe (ou pode obter via Biot–Savart) que, no eixo da espira a distância do seu plano, o módulo é
A gente já sabe (ou pode obter via Biot–Savart) que, no eixo da espira a distância
toda vez apontando na direção do eixo (direção
se a corrente for no sentido certo).
Passo 4
Campo de uma fatia de espiras
A fatia em tem
voltas idênticas, então contribui com
A fatia em
Passo 5
Integrar ao longo de todo o solenóide
Para um solenóide idealmente infinito, integramos de
a
:
Para um solenóide idealmente infinito, integramos
Agora a integral padrão:
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