Um disco de plástico oco possui raio interno e raio externo . Existe uma carga distribuída uniformemente ao longo da parte maciça entre e . O disco gira em torno do seu eixo com velocidade angular constante. Determine o momento magnético do disco.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede o momento magnético de um disco plástico oco de raio interno e externo , que tem carga total uniformemente espalhada na “parte maciça” (a região entre e ) e gira com velocidade angular constante .
Conteúdo: Eletromagnetismo – momento magnético de distribuições de carga em rotação.
O que vamos usar:
Densidade superficial de carga .
Modelar o disco como um monte de anéis infinitesimais.
Cada anel girando equivale a uma corrente elétrica infinitesimal .
Momento magnético de um laço .
Integração de de a .
Passo 2
Primeiro, a densidade superficial de carga é
Agora, considere um anel de raio e espessura .
A área desse anel é .
A carga no anel é
Passo 3
Esse anel gira com . A corrente equivalente desse anel é a carga que passa por um ponto por unidade de tempo:
O momento magnético de um laço de corrente é vezes a área do laço. Aqui a “área do laço” é . Então o momento magnético infinitesimal é
Passo 4
Agora integramos de até :
Como , bate um cancelamento com o denominador e sobra
Falta lembrar que a densidade inicial tinha um no denominador, então esse some mesmo. No fim, o fator some totalmente e o resultado é
Resposta
boxed mu ;=; q,omega4,l(a^2 + b^2r),z
Ou seja, o momento magnético aponta ao longo do eixo de rotação () e tem magnitude .