Um disco de plástico oco possui raio interno a e raio externo b. Existe uma carga q distribuída uniformemente ao longo da parte maciça entre a e b. O disco gira em torno do seu eixo com velocidade angular constante. Determine o momento magnético do disco.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o momento magnético de um disco plástico oco de raio interno e externo , que tem carga total uniformemente espalhada na “parte maciça” (a região entre e ) e gira com velocidade angular constante .
Conteúdo: Eletromagnetismo – momento magnético de distribuições de carga em rotação.
O que vamos usar:
  1. Densidade superficial de carga .
  2. Modelar o disco como um monte de anéis infinitesimais.
  3. Cada anel girando equivale a uma corrente elétrica infinitesimal .
  4. Momento magnético de um laço áç.
  5. Integração de de a .

Passo 2

Primeiro, a densidade superficial de carga é
sigma ;=;qárea total ;=;qpi(b^2 - a^2) á
Agora, considere um anel de raio dQ ;=;sigma,dA ;=;qpi(b^2-a^2);2pi r,dr ;=;2q,r,b^2 - a^2,,dr e espessura .
  • A área desse anel é .
  • A carga no anel é

Passo 3

Esse anel gira com dI ;=;dQT ;=;dQ2pi/omega ;=;omega2pi,dQ ;=;omega2pi,2q,rb^2 - a^2,dr ;=;omega,q,r,b^2 - a^2,,dr . A corrente equivalente desse anel é a carga que passa por um ponto por unidade de tempo:
dmu ;=;dI;times;pi r^2 ;=;omega,q,r,b^2 - a^2,,dr timespi r^2 ;=;pi,omega,q,r^3,b^2 - a^2,,dr
O momento magnético de um laço de corrente é vezes a área do laço. Aqui a “área do laço” é . Então o momento magnético infinitesimal é

Passo 4

Agora integramos mu =integrala^b dmu =integrala^b pi,omega,qb^2 - a^2;r^3,dr =pi,omega,qb^2 - a^2;cdotr^44g|a^b =pi,omega,qb^2 - a^2;b^4 - a^44 de mu = pi,omega,q,b^2 - a^2,;(b^2 - a^2)(b^2 + a^2)4 = pi,omega,q,(b^2 + a^2)4 até :
Como , bate um cancelamento com o denominador e sobra
Falta lembrar que a densidade inicial tinha um no denominador, então esse some mesmo. No fim, o fator some totalmente e o resultado é

Resposta

boxed mu ;=; q,omega4,l(a^2 + b^2r),z
Ou seja, o momento magnético aponta ao longo do eixo de rotação ( ) e tem magnitude .

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