Um disco de raio R possui densidade superficial de carga uniforme sigma. Determine o potencial elétrico em um ponto P, a uma distância z do centro, ao longo do eixo do disco. Calcule -nabla V e compare o resultado com a resposta do problema 12 .

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V num ponto P que fica a uma distância z do centro de um disco de raio R com densidade superficial de carga uniforme sigma. O conteúdo principal aqui é usar a superposição de potenciais e integrar sobre anéis elementares do disco. Em seguida, vamos calcular o campo elétrico via -nabla V e comparar com o resultado de um problema anterior (resposta do problema 12), que dá o campo ao longo do eixo de um disco carregado.

Passo 2

Considere um anel de raio r e largura dr dentro do disco. A carga desse anel é
dq = sigma,(2pi r,dr)
O potencial devido a esse anel, no ponto sobre o eixo a distância z, é
dV = 14pivarepsilon0,dqraizr^2+z^2 = sigma4pivarepsilon0,2pi r,drraizr^2+z^2 = sigma2varepsilon0,r,drraizr^2+z^2
Para obter V(z), integramos r de 0 até R:
V(z) = integral0^R sigma2varepsilon0,r,drraizr^2+z^2 = sigma2varepsilon0 l[raizr^2+z^2r]0^R = sigma2varepsilon0l(raizR^2+z^2-zr)

Passo 3

Agora calculamos o campo elétrico pelo gradiente negativo de V. Como V depende só de z,
Ez = -dVdz = -ddz!l[sigma2varepsilon0(raizR^2+z^2-z)r] = -sigma2varepsilon0l(zraizR^2+z^2 - 1r) = sigma2varepsilon0l(1 - zraizR^2+z^2r)
Logo,
E(z) = Ez,hat z = sigma2varepsilon0l(1 - zraizR^2+z^2r)hat z

Passo 4

A expressão obtida para E(z) coincide exatamente com a resposta do problema 12, que dá o campo ao longo do eixo de um disco uniformemente carregado.

Resposta

V(z)= sigma2varepsilon0l(raizR^2+z^2-zr)
E(z)=-nabla V =sigma2varepsilon0l(1-zraizR^2+z^2r)hat z, em total acordo com o problema 12.

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