Um disco de raio
é carregado uniformemente com carga
e disposto sobre o plano
. Determine:
Se uma partícula de carga
e massa
é solta num ponto
que dista inicialmente
do disco, determine a velocidade para
.
Se uma partícula de carga
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: temos um disco de raio
, carregado uniformemente com carga total
, e ele está no plano
. Uma partícula (carga
, massa
) é colocada sobre o eixo perpendicular ao disco a uma distância
e então solta. A gente precisa achar a velocidade dela quando ela estiver “lá em cima”, ou seja, quando
.
Conteúdo: eletricidade (potencial de uma distribuição contínua), e conservação de energia mecânica. Vamos usar: densidade de carga superficial, expressão do potencial no eixo de um disco, e conservação de energia (potencial → cinética).
Conteúdo: eletricidade (potencial de uma distribuição contínua), e conservação de energia mecânica. Vamos usar: densidade de carga superficial, expressão do potencial no eixo de um disco, e conservação de energia (potencial → cinética).
Passo 2
Primeiro passo prático: achar a densidade de carga superficial
.
Por definição,
Por definição,
Isso vale porque a carga está distribuída uniformemente na face do disco.
Passo 3
Agora precisamos do potencial elétrico
gerado por esse disco, ao longo do eixo perpendicular (eixo
). A fórmula conhecida (que você encontra em qualquer livro de eletrostática) é
onde
é a permissividade do vácuo. Essa expressão vem de integrar o contributo de anéis elementares de carga que formam o disco.
Passo 4
Como a partícula parte do repouso em
, sua energia mecânica total inicial é só energia potencial elétrica:
No infinito, a gente define
, então
. A energia que “desce” do potencial vira cinética:
Como ela parte do repouso,
, e
.
Passo 5
Substituindo tudo:
-
. -
. -
.
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Isolando
: