Um disco de raio R é carregado uniformemente com carga Q e disposto sobre o plano x y. Determine:
Se uma partícula de carga q e massa m é solta num ponto P que dista inicialmente d do disco, determine a velocidade para z infty.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos um disco de raio , carregado uniformemente com carga total , e ele está no plano . Uma partícula (carga , massa ) é colocada sobre o eixo perpendicular ao disco a uma distância e então solta. A gente precisa achar a velocidade dela quando ela estiver “lá em cima”, ou seja, quando .
Conteúdo: eletricidade (potencial de uma distribuição contínua), e conservação de energia mecânica. Vamos usar: densidade de carga superficial, expressão do potencial no eixo de um disco, e conservação de energia (potencial → cinética).

Passo 2

Primeiro passo prático: achar a densidade de carga superficial sigma = carga totalárea do disco = Qpi R^2 .
Por definição,
á
Isso vale porque a carga está distribuída uniformemente na face do disco.

Passo 3

Agora precisamos do potencial elétrico V(z) ;=; sigma2varepsilon0,l(raizz^2+R^2;-;zr), gerado por esse disco, ao longo do eixo perpendicular (eixo ). A fórmula conhecida (que você encontra em qualquer livro de eletrostática) é
onde é a permissividade do vácuo. Essa expressão vem de integrar o contributo de anéis elementares de carga que formam o disco.

Passo 4

Como a partícula parte do repouso em Ui = q,V(d) , sua energia mecânica total inicial é só energia potencial elétrica:
Kf - Ki ;=; -l(Uf - Uir) Longrightarrow Kf = q,V(d)
No infinito, a gente define , então . A energia que “desce” do potencial vira cinética:
Como ela parte do repouso, , e .

Passo 5

Substituindo tudo:
  1. 12,m,v^2 = q ;12varepsilon0,Qpi R^2,l(raizd^2+R^2-dr) .
  2. v = raiz2qm,12varepsilon0,Qpi R^2, l(raizd^2+R^2-dr) = raizq,Qpi,varepsilon0,m,R^2, l(raizd^2+R^2-dr) .
  3. .
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Isolando :

Resposta

boxed,v ;=;raizq,Qpi,varepsilon0,m,R^2,l(raizd^2+R^2-dr),

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