Marte tem um diâmetro médio igual a 6,9 times 10^3 km; o diâmetro da Terra vale 1,3 times 10^4 km. A massa de Marte é igual a 0,11 MT, onde MT é a massa da Terra. A partir destes dados, (a) determine a razão entre as densidades médias de Marte e da Terra. (b) Sabendo que a densidade média da Terra vale 5,5 g / cm^3, calcule a aceleração da gravidade na superfície de Marte. © Usando apenas estes dados, calcule a velocidade de escape na superfície de Marte.

Passo 1

Beleza, olha o que a questão pede:
• Conteúdo: densidade de esfera, aceleração da gravidade na superfície e velocidade de escape.
• O que temos:
– Diâmetro de Marte DM=6,9times10^3,km e da Terra DT=1,3times10^4,km.
– Massa de Marte MM=0,11,MT.
– Densidade média da Terra rhoT=5,5,g/cm^3.
• O que precisamos:
  1. Razão rhoM/rhoT, 2) gM, 3) vrm esc,M.

Passo 2

Vamos à densidade. Pra uma esfera valem:
rho=MV, V=43pi R^3,
Como R=D/2, a razão das densidades é
$$\frac{\rho_M}{\rho_T}=\frac{M_M/V_M}{M_T/V_T}
=\frac{M_M}{M_T};\Bigl(\frac{V_T}{V_M}\Bigr)
=\frac{0{,}11}{\bigl(\tfrac{D_M}{D_T}\bigr)^3},. rhoMrhoT=MM/VMMT/VT =MMMT;l(VTVMr) =0,11l(tfracDMDTr)^3, \frac{\rho_M}{\rho_T}
=\frac{0{,}11}{(0{,}53)^3}
\approx\frac{0{,}11}{0{,}149}
\approx0{,}74,. $$

Passo 3

Agora a gravidade na superfície:
g=GMR^2,
Em vez de usar G, a gente faz na base de razões com a Terra:
$$g_M=g_T;\frac{M_M/M_T}{(R_M/R_T)^2}
=9{,}8;\frac{0{,}11}{(0{,}53)^2}
\approx9{,}8;\frac{0{,}11}{0{,}2809}
\approx3{,}8\ m/s^2,. $$

Passo 4

Por fim, a velocidade de escape:
vrm esc=raiz2GMR,
De novo usamos a relação com a Terra ( vrm esc,Tapprox11,2,km/s):
$$v_{\rm esc,M}
=v_{\rm esc,T}\sqrt{\frac{M_M/M_T}{R_M/R_T}}
=11{,}2\sqrt{\frac{0{,}11}{0{,}53}}
\approx11{,}2\times0{,}46
\approx5{,}1\ km/s,. $$

Resposta

(a) dfracrhoMrhoTapprox0,74
(b) gMapprox3,8 m/s^2
© vrm esc,Mapprox5,1 km/s

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