Um disco de raio R e massa M gira em torno de seu eixo central com velocidade angular omega. Deduz a equação do momento de inércia do disco.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um disco com raio $ R $ e massa $ M $ que está girando ao redor do seu eixo central com uma velocidade angular $ \omega $. O objetivo é deduzir a equação para o momento de inércia desse disco.
Aqui, estamos trabalhando com o conceito de momento de inércia, que é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos básicos de física sobre rotação e distribuição de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia ($ I $) para um objeto que gira ao redor de um eixo é definido pela integral:
I
onde $ r $ é a distância de cada elemento de massa $ dm $ ao eixo de rotação.

Passo 3

No caso de um disco fino (ou disco sólido), a massa está distribuída uniformemente ao longo da sua área. Vamos considerar um anel de raio $ r $ e espessura $ dr $. A massa desse anel, $ dm $, pode ser expressa em termos da densidade superficial $ \sigma $:
r
Então, $ dm = \sigma \cdot 2\pi r , dr = \frac{M}{\pi R^2} \cdot 2\pi r , dr = \frac{2M}{R^2} r , dr $

Passo 4

Substituindo $ dm $ na expressão do momento de inércia:
dm

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^R r^3 , dr = R^44
Portanto,
I = 2MR^2 cdot R^44 = 2M R^24 = M R^22

Resposta

O momento de inércia do disco é dado por:
I = 12 M R^2

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