Dois blocos de massas m1 e m2 se movem em uma superfície horizontal sem atrito e colidem elasticamente. Deduz as equações de conservação do momento linear e da energia cinética para esse sistema.

Passo 1

Então, a gente tem dois blocos com massas $ m_{1} $ e $ m_{2} $ que estão se movendo numa superfície sem atrito e acabam colidindo de forma elástica. Vamos precisar usar os conceitos de conservação do momento linear e conservação da energia cinética para deduzir as equações que descrevem esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a conservação do momento linear. Essa lei diz que, se não tiver forças externas agindo no sistema, o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão.
Momento linear é dado por $ p = m \times v $, onde $ m $ é a massa e $ v $ é a velocidade.

Passo 3

Antes da colisão, o momento dos dois blocos são:
  • Bloco 1: $ p_{1i} = m_{1} \times v_{1i} $
  • Bloco 2: $ p_{2i} = m_{2} \times v_{2i} $
Então, o momento total inicial do sistema é:
p1i = m1 times v1i

Passo 4

Depois da colisão, os blocos podem ter novas velocidades, digamos $ v_{1f} $ e $ v_{2f} $. Assim, os momentos finais são:
  • Bloco 1: $ p_{1f} = m_{1} \times v_{1f} $
  • Bloco 2: $ p_{2f} = m_{2} \times v_{2f} $
O momento total final do sistema é:
v1f

Passo 5

Como não tem força externa, o momento total inicial iguala o momento total final:
m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
Essa é a primeira equação de conservação do momento linear.

Passo 6

Agora, vamos para a conservação da energia cinética. Em colisões elásticas, a energia cinética total também se mantém.
Energia cinética é dada por $ KE = \frac{1}{2}mv^{2} $.

Passo 7

Antes da colisão, a energia cinética dos blocos é:
  • Bloco 1: $ KE_{1i} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1i}^{2} $
  • Bloco 2: $ KE_{2i} = \frac{1}{2}m_{2}v_{2i}^{2} $
Então, a energia cinética total inicial é:
KE1i = 12m1v1i^2

Passo 8

Depois da colisão, a energia cinética dos blocos é:
  • Bloco 1: $ KE_{1f} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^{2} $
  • Bloco 2: $ KE_{2f} = \frac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2} $
A energia cinética total final é:
KE1f = 12m1v1f^2

Passo 9

Como a colisão é elástica, a energia cinética total inicial é igual à final:
12m1v1i^2 + 12m2v2i^2 = 12m1v1f^2 + 12m2v2f^2
Essa é a segunda equação de conservação da energia cinética.

Resposta

As equações de conservação para o sistema são:
m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
12m1v1i^2 + 12m2v2i^2 = 12m1v1f^2 + 12m2v2f^2

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