Um disco de raio R e massa M gira em torno de seu eixo central com velocidade angular omega. Se um torque constante for aplicado, determine a variação da velocidade angular em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um disco com raio $ R $ e massa $ M $ girando com uma velocidade angular $ \omega $. A gente precisa descobrir como essa velocidade angular muda ao longo do tempo quando aplicamos um torque constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de torque, momento de inércia e aceleração angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é torque. Torque ($ \tau tau éçíçãé I I çã \alpha $) é dada pela fórmula:
alpha

Passo 3

Agora, precisamos saber o momento de inércia do disco. Para um disco uniforme girando em torno do seu eixo central, o momento de inércia é:
I = 12 M R^2
Isso significa que quanto maior a massa ou o raio do disco, maior será o momento de inércia.

Passo 4

Com o valor de $ I $ conhecido, podemos substituir na equação do torque:
I
Queremos encontrar $ \alpha $, então vamos isolar essa variável:
tau = 12 M R^2 cdot alpha

Passo 5

A aceleração angular ($ \alpha alpha éçã \omega $) em relação ao tempo. Isso é matematicamente representado por:
omega
Como $ \alpha $ é constante (porque o torque é constante), podemos integrar essa equação para encontrar como $ \omega $ muda com o tempo.

Passo 6

Integrando a equação da aceleração angular:
integral domega = integral alpha , dt
Isso resulta em:
omega(t) = omega0 + alpha t
Onde $ \omega_0 $ é a velocidade angular inicial.

Passo 7

Substituindo o valor de $ \alpha $ que encontramos anteriormente:
alpha

Resposta

A variação da velocidade angular em função do tempo é dada por:
omega(t) = omega0 + dfrac2 tauM R^2 , t

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