Um disco de raio R e massa M gira em torno de seu eixo central com velocidade angular
. Se um torque constante for aplicado, determine a variação da velocidade angular em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um disco com raio $ R $ e massa $ M $ girando com uma velocidade angular $ \omega $. A gente precisa descobrir como essa velocidade angular muda ao longo do tempo quando aplicamos um torque constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de torque, momento de inércia e aceleração angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é torque. Torque ($ \tau
I
\alpha $) é dada pela fórmula:
Passo 3
Agora, precisamos saber o momento de inércia do disco. Para um disco uniforme girando em torno do seu eixo central, o momento de inércia é:
Isso significa que quanto maior a massa ou o raio do disco, maior será o momento de inércia.
Passo 4
Com o valor de $ I $ conhecido, podemos substituir na equação do torque:
Queremos encontrar $ \alpha $, então vamos isolar essa variável:
Passo 5
A aceleração angular ($ \alpha
\omega $) em relação ao tempo. Isso é matematicamente representado por:
Como $ \alpha $ é constante (porque o torque é constante), podemos integrar essa equação para encontrar como $ \omega $ muda com o tempo.
Passo 6
Integrando a equação da aceleração angular:
Isso resulta em:
Onde $ \omega_0 $ é a velocidade angular inicial.
Passo 7
Substituindo o valor de $ \alpha $ que encontramos anteriormente:
Resposta
A variação da velocidade angular em função do tempo é dada por: