Um disco de raio R possui uma carga total Q distribuída não uniformemente. A densidade superficial de carga é dada por sigma(r)=sigma0 r^2, onde ré a distância do centro do disco até um ponto P qualquer do disco. (a) Encontre o campo elétrico produzido pelo disco num ponto qualquer do eixo do disco a uma distância d do seu centro. (b) qual é o campo quando d tende a zero?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um disco carregado com raio $ R $ e carga total $ Q $, onde a distribuição de carga não é uniforme. A densidade superficial de carga é dada por $ \sigma® = \sigma_0 r^2 $, onde $ r $ é a distância do centro do disco até um ponto qualquer nele. Precisamos:
a) Encontrar o campo elétrico gerado pelo disco em um ponto qualquer no eixo do disco a uma distância $ d $ do centro.
b) Determinar qual é o campo elétrico quando $ d $ tende a zero.
Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a superposição do campo elétrico devido a distribuições de carga contínuas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a carga está distribuída no disco. A densidade superficial de carga é $ \sigma® = \sigma_0 r^2 $. Isso significa que a carga não é uniforme; ela aumenta com o quadrado da distância ao centro.
Para começar, vamos encontrar a constante $ \sigma_0 $ em termos da carga total $ Q $. A carga total $ Q $ é a integral da densidade de carga sobre toda a área do disco:
sigma(r) = sigma0 r^2
No caso de um disco circular, $ dA = 2\pi r , dr $, então:
sigma0
Calculando a integral:
Q
Igualando a $ Q $:
Q

Passo 3

Agora, vamos focar na parte a): encontrar o campo elétrico no eixo do disco a uma distância $ d $ do centro.
Vamos considerar um anel infinitesimal no disco com raio $ r $ e espessura $ dr $. A carga desse anel é:
d
O campo elétrico devido a esse anel no ponto a distância $ d $ no eixo é dado por:
r
Substituindo $ dq $:
dr
Para encontrar o campo total $ E $, integramos de $ r = 0 $ a $ r = R $:
dq = sigma(r) cdot dA = sigma0 r^2 cdot 2pi r , dr = 2pi sigma0 r^3 , dr

Passo 4

Vamos simplificar essa integral. Substituímos $ \sigma_0 $ pela expressão que encontramos no Passo 2:
sigma0
Substituindo na expressão de $ E $:
sigma0 = 2Qpi R^4
Agora, para resolver a integral, fazemos a substituição $ u = d^2 + r^2 $, então $ du = 2r , dr $. Ajustando os limites de integração:
Quando $ r = 0 $, $ u = d^2 $.
Quando $ r = R $, $ u = d^2 + R^2 $.
A integral se torna:
E
Simplificando:
E = integral0^R 2Qpi R^4 cdot d cdot r^32varepsilon0 (d^2 + r^2)^3/2 , dr = Q dpi R^4 varepsilon0 integral0^R r^3(d^2 + r^2)^3/2 , dr
Integrando termo a termo:
u = d^2 + r^2
Substituindo os limites:
du = 2r , dr
Simplificando:
r = 0

Passo 5

Agora, vamos simplificar ainda mais a expressão para $ E $:
Observe que:
E
Então, a expressão do campo elétrico fica:
raizd^2 + R^2 + d^2raizd^2 + R^2 = d^2 + R^2 + d^2raizd^2 + R^2 = 2d^2 + R^2raizd^2 + R^2

Passo 6

Para finalizar, vamos considerar se há simplificações adicionais ou se essa é a forma mais simplificada para o campo elétrico. Se não, podemos deixar essa expressão como resultado final para a parte a).
Agora, passamos para a parte b): determinar o campo elétrico quando $ d $ tende a zero.

Passo 7

Quando $ d $ tende a zero, queremos encontrar $ \lim_{d \to 0} E $.
Vamos analisar a expressão que obtivemos:
d
Quando $ d \to 0 $, $ \sqrt{d^2 + R^2} \to R $, e os termos envolvendo $ d $ tornam-se negligíveis comparados a $ R $.
Substituindo $ d = 0 $:
limd to 0 E
Portanto, o campo elétrico no centro do disco (quando $ d \to 0 $) é zero.

Resposta

a) O campo elétrico no eixo do disco a uma distância $ d $ do centro é dado por:
d
b) Quando $ d $ tende a zero, o campo elétrico no centro do disco é:
E = Q dpi R^4 varepsilon0 ( 2d^2 + R^2raizd^2 + R^2 - 2d )

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