Um disco de raio
possui uma carga total
distribuída não uniformemente. A densidade superficial de carga é dada por
, onde ré a distância do centro do disco até um ponto P qualquer do disco. (a) Encontre o campo elétrico produzido pelo disco num ponto qualquer do eixo do disco a uma distância d do seu centro. (b) qual é o campo quando d tende a zero?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um disco carregado com raio $ R $ e carga total $ Q $, onde a distribuição de carga não é uniforme. A densidade superficial de carga é dada por $ \sigma® = \sigma_0 r^2 $, onde $ r $ é a distância do centro do disco até um ponto qualquer nele. Precisamos:
a) Encontrar o campo elétrico gerado pelo disco em um ponto qualquer no eixo do disco a uma distância $ d $ do centro.
b) Determinar qual é o campo elétrico quando $ d $ tende a zero.
Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a superposição do campo elétrico devido a distribuições de carga contínuas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a carga está distribuída no disco. A densidade superficial de carga é $ \sigma® = \sigma_0 r^2 $. Isso significa que a carga não é uniforme; ela aumenta com o quadrado da distância ao centro.
Para começar, vamos encontrar a constante $ \sigma_0 $ em termos da carga total $ Q $. A carga total $ Q $ é a integral da densidade de carga sobre toda a área do disco:
No caso de um disco circular, $ dA = 2\pi r , dr $, então:
Calculando a integral:
Igualando a $ Q $:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte a): encontrar o campo elétrico no eixo do disco a uma distância $ d $ do centro.
Vamos considerar um anel infinitesimal no disco com raio $ r $ e espessura $ dr $. A carga desse anel é:
O campo elétrico devido a esse anel no ponto a distância $ d $ no eixo é dado por:
Substituindo $ dq $:
Para encontrar o campo total $ E $, integramos de $ r = 0 $ a $ r = R $:
Passo 4
Vamos simplificar essa integral. Substituímos $ \sigma_0 $ pela expressão que encontramos no Passo 2:
Substituindo na expressão de $ E $:
Agora, para resolver a integral, fazemos a substituição $ u = d^2 + r^2 $, então $ du = 2r , dr $. Ajustando os limites de integração:
Quando $ r = 0 $, $ u = d^2 $.
Quando $ r = R $, $ u = d^2 + R^2 $.
A integral se torna:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos simplificar ainda mais a expressão para $ E $:
Observe que:
Então, a expressão do campo elétrico fica:
Passo 6
Para finalizar, vamos considerar se há simplificações adicionais ou se essa é a forma mais simplificada para o campo elétrico. Se não, podemos deixar essa expressão como resultado final para a parte a).
Agora, passamos para a parte b): determinar o campo elétrico quando $ d $ tende a zero.
Passo 7
Quando $ d $ tende a zero, queremos encontrar $ \lim_{d \to 0} E $.
Vamos analisar a expressão que obtivemos:
Quando $ d \to 0 $, $ \sqrt{d^2 + R^2} \to R $, e os termos envolvendo $ d $ tornam-se negligíveis comparados a $ R $.
Substituindo $ d = 0 $:
Portanto, o campo elétrico no centro do disco (quando $ d \to 0 $) é zero.
Resposta
a) O campo elétrico no eixo do disco a uma distância $ d $ do centro é dado por:
b) Quando $ d $ tende a zero, o campo elétrico no centro do disco é: