Um disco de raio
possui uma carga total
uniformemente distribuída em sua superfície. Calcule o potencial elétrico sobre os pontos do eixo do disco a uma distância
do seu centro. Considere o potencial igual a zero no infinito. (2,5)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um disco com raio $ R $ e carga total $ Q $ distribuída de forma uniforme na sua superfície. A missão é calcular o potencial elétrico em pontos que estão ao longo do eixo do disco, a uma distância $ x $ do centro. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente como calcular o potencial elétrico gerado por distribuições de carga contínua. Precisamos saber sobre potencial elétrico, distribuição de carga e integração para somar pequenas contribuições de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o disco como sendo composto por várias anéis fininhos de raio variável. Cada anel tem uma carga pequena $ dq $ e contribui com um potencial elétrico $ dV $ no ponto a distância $ x $ do centro.
Passo 3
Sabemos que o potencial elétrico $ dV $ de um anel de raio $ r $ e carga $ dq $ no ponto do eixo é dado por:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade de carga superficial $ \sigma $ é:
A carga do anel $ dq $ pode ser expressa como:
Passo 5
Substituindo $ dq $ na expressão de $ dV $:
Passo 6
Para encontrar o potencial total $ V $, integramos $ dV $ de $ r = 0 $ até $ r = R $:
Passo 7
Resolvendo a integral, fazemos a substituição $ u = x^2 + r^2 $, $ du = 2r , dr $:
Resposta
O potencial elétrico no ponto a distância $ x $ do centro do disco é: