1. Para um disco de raio R, uniformemente carregado, a intensidade do campo elétrico ao longo do eixo do disco é dado por E z=2 k pi sigma[1-z /(z 2+R 2) 1 / 2]. Determinar a que distância ao longo do eixo do disco a intensidade do campo elétrico é igual a metade do valor do campo sobre a superfície do disco, no seu centro. (Obs: Na superfície do disco, z=0 ). R: : r / raiz 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre campo elétrico de um disco carregado uniformemente. A gente precisa usar a fórmula do campo elétrico ao longo do eixo de um disco e descobrir em que distância esse campo é metade do que está na superfície do disco (no centro dele).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que nos foi dada:
E(z) = 2kpisigma [1 - zraizz^2 + R^2]
Aqui, $ E(z) $ é a intensidade do campo elétrico a uma distância $ z $ ao longo do eixo do disco, $ k $ é a constante eletrostática, $ \sigma $ é a densidade superficial de carga do disco, e $ R $ é o raio do disco.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a distância $ z $ onde o campo elétrico $ E(z) $ é metade do campo na superfície do disco, que é no centro ($ z = 0 $).
Vamos primeiro calcular o campo elétrico na superfície do disco ($ z = 0 $):
z
Então, queremos encontrar $ z $ tal que:
E(z)

Passo 4

Agora, substituímos $ E(z) $ pela metade do valor de $ E(0) $:
E(z)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ k\pi\sigma $:
E(0)

Passo 5

Resolvendo a equação:
2 - 2zraizz^2 + R^2 = 1
Subtraindo 2 de ambos os lados:
-2zraizz^2 + R^2 = -1
Multiplicando ambos os lados por -1:
2zraizz^2 + R^2 = 1

Passo 6

Isolando $ \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} $:
zraizz^2 + R^2
Agora, vamos elevar ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz quadrada:
zraizz^2 + R^2 = 12
(zraizz^2 + R^2)^2 = (12)^2

Passo 7

Resolvendo para $ z^2 $:
z^2
Subtraindo $ z^2 $ de ambos os lados:
4z^2 = z^2 + R^2
Dividindo ambos os lados por 3:
z^2

Passo 8

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
z = Rraiz3

Resposta

A distância ao longo do eixo do disco onde o campo elétrico é metade do valor na superfície é:
z = Rraiz3

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