- Para um disco de raio
, uniformemente carregado, a intensidade do campo elétrico ao longo do eixo do disco é dado por
. Determinar a que distância ao longo do eixo do disco a intensidade do campo elétrico é igual a metade do valor do campo sobre a superfície do disco, no seu centro. (Obs: Na superfície do disco,
).
…
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre campo elétrico de um disco carregado uniformemente. A gente precisa usar a fórmula do campo elétrico ao longo do eixo de um disco e descobrir em que distância esse campo é metade do que está na superfície do disco (no centro dele).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que nos foi dada:
Aqui, $ E(z) $ é a intensidade do campo elétrico a uma distância $ z $ ao longo do eixo do disco, $ k $ é a constante eletrostática, $ \sigma $ é a densidade superficial de carga do disco, e $ R $ é o raio do disco.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a distância $ z $ onde o campo elétrico $ E(z) $ é metade do campo na superfície do disco, que é no centro ($ z = 0 $).
Vamos primeiro calcular o campo elétrico na superfície do disco ($ z = 0 $):
Então, queremos encontrar $ z $ tal que:
Passo 4
Agora, substituímos $ E(z) $ pela metade do valor de $ E(0) $:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ k\pi\sigma $:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 6
Isolando $ \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} $:
Agora, vamos elevar ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz quadrada:
Passo 7
Resolvendo para $ z^2 $:
Subtraindo $ z^2 $ de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 3:
Passo 8
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A distância ao longo do eixo do disco onde o campo elétrico é metade do valor na superfície é: