Um disco de CD tem 12 cm de diâmetro e 21 g de massa. (a) Qual é o momento de inércia do CD em relação a um eixo que passa pelo centro do disco? (b) Qual deve ser o torque aplicado ao CD para que ele alcance uma velocidade angular de 3000 rpm em 0,1 segundos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um CD que tem 12 cm de diâmetro e 21 g de massa. A gente vai precisar usar conceitos de momento de inércia e torque da física. No primeiro item, vamos calcular o momento de inércia do CD em relação a um eixo que passa pelo centro dele. No segundo item, vamos descobrir o torque necessário para que o CD alcance uma certa velocidade angular em um tempo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do CD. O momento de inércia (
) para um disco sólido em relação a um eixo pelo centro é dado pela fórmula:
Aqui,
é a massa e
é o raio do disco.
Passo 3
Vamos transformar as medidas dadas para unidades do Sistema Internacional:
- Diâmetro do CD: 12 cm → raio
cm → metros - Massa do CD: 21 g →
kg
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula do momento de inércia:
Vamos calcular passo a passo:
- $ (0,06)^2 = 0,0036 $
- $ 0,021 \times 0,0036 = 0,0000756 $
- $ \frac{1}{2} \times 0,0000756 = 0,0000378 $
Então, $ I = 0,0000378 $ kg·m²
Passo 5
Agora, vamos para o item (b). Queremos achar o torque (
) necessário para que o CD atinja uma velocidade angular de 3000 rpm em 0,1 segundos. Primeiro, precisamos converter a velocidade angular de rpm para radianos por segundo.
A conversão é:
Então,
Passo 6
Sabemos que o torque está relacionado com a aceleração angular (
) pela fórmula:
Primeiro, vamos calcular
. A aceleração angular é a variação da velocidade angular dividida pelo tempo:
Passo 7
Agora, usando o valor de
que calculamos antes:
Vamos calcular:
Resposta
(a) O momento de inércia do CD em relação ao eixo central é aproximadamente
.
(b) O torque necessário para que o CD alcance uma velocidade angular de 3000 rpm em 0,1 segundos é aproximadamente
.