Um disco de CD tem 12 cm de diâmetro e 21 g de massa. (a) Qual é o momento de inércia do CD em relação a um eixo que passa pelo centro do disco? (b) Qual deve ser o torque aplicado ao CD para que ele alcance uma velocidade angular de 3000 rpm em 0,1 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um CD que tem 12 cm de diâmetro e 21 g de massa. A gente vai precisar usar conceitos de momento de inércia e torque da física. No primeiro item, vamos calcular o momento de inércia do CD em relação a um eixo que passa pelo centro dele. No segundo item, vamos descobrir o torque necessário para que o CD alcance uma certa velocidade angular em um tempo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do CD. O momento de inércia ( I) para um disco sólido em relação a um eixo pelo centro é dado pela fórmula:
I = 12 times m times r^2
Aqui, m é a massa e r é o raio do disco.

Passo 3

Vamos transformar as medidas dadas para unidades do Sistema Internacional:
  • Diâmetro do CD: 12 cm → raio r = 122 = 6 cm → 0,06 metros
  • Massa do CD: 21 g → 0,021 kg

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula do momento de inércia:
I = 12 times 0,021 times (0,06)^2
Vamos calcular passo a passo:
  • $ (0,06)^2 = 0,0036 $
  • $ 0,021 \times 0,0036 = 0,0000756 $
  • $ \frac{1}{2} \times 0,0000756 = 0,0000378 $
Então, $ I = 0,0000378 $ kg·m²

Passo 5

Agora, vamos para o item (b). Queremos achar o torque ( tau) necessário para que o CD atinja uma velocidade angular de 3000 rpm em 0,1 segundos. Primeiro, precisamos converter a velocidade angular de rpm para radianos por segundo.
A conversão é:
omega (rad/s) = rpm times 2pi60
Então,
omega = 3000 times 2pi60 = 3000 times pi30 = 100pi , rad/s

Passo 6

Sabemos que o torque está relacionado com a aceleração angular ( alpha) pela fórmula:
tau = I times alpha
Primeiro, vamos calcular alpha. A aceleração angular é a variação da velocidade angular dividida pelo tempo:
alpha = De²

Passo 7

Agora, usando o valor de I que calculamos antes:
tau = 0,0000378 times 1000pi
Vamos calcular:
tau = 0,0000378 times 1000 times 3,1416 approx 0,0000378 times 3141,6 approx 0,118 , N·m

Resposta

(a) O momento de inércia do CD em relação ao eixo central é aproximadamente 0,0000378 , kg·m²².
(b) O torque necessário para que o CD alcance uma velocidade angular de 3000 rpm em 0,1 segundos é aproximadamente 0,118 , N·m.

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