Um badalo é composto de duas massas pontuais de
cada ligadas por uma haste de massa desprezível e comprimento
. (a) Encontre o período deste pêndulo físico se a distância entre o ponto de suspensão e a massa de cima for igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um badalo, que é um tipo de pêndulo físico. A gente tem duas massas pontuais de 0,5 kg cada, ligadas por uma haste sem massa e com 2 metros de comprimento. A distância do ponto de suspensão até a massa de cima é de 0,5 metros. A gente precisa encontrar o período desse pêndulo. Para isso, vamos precisar entender sobre o momento de inércia e como ele se relaciona com o movimento oscilatório do pêndulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o período. O período é o tempo que o pêndulo leva para completar uma oscilação completa, ou seja, ir de um lado para o outro e voltar. Para um pêndulo físico, o período $ T $ é dado pela fórmula:
Onde:
- $ I $ é o momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto de suspensão.
- $ m $ é a massa total do pêndulo.
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $).
- $ d $ é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo.
Passo 3
Vamos calcular a massa total do badalo. Como temos duas massas de 0,5 kg cada:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a distância $ d $ entre o ponto de suspensão e o centro de massa do badalo. Como a haste tem 2 metros de comprimento e a distância até a massa de cima é 0,5 metros, o centro de massa fica no ponto médio entre as duas massas.
Passo 5
Vamos calcular o momento de inércia $ I $ do badalo em relação ao ponto de suspensão. Para duas massas pontuais, o momento de inércia é a soma de cada massa vezes o quadrado da distância dela ao ponto de rotação.
Cada massa está a 1,5 metros do ponto de suspensão:
Passo 6
Agora que temos todos os valores, vamos substituir na fórmula do período:
Calculando o denominador:
Então:
Continuando:
Finalmente:
Resposta
O período do pêndulo é aproximadamente 2,46 segundos.