Uma v.a. discreta
tem função geratriz de momentos dada por
. Determine a função geratriz de cumulantes de
e use-a para obter
e
. Determine a função geratriz de probabilidade.
Passo 1
O enunciado dá a função geratriz de momentos (mgf) de uma v.a. discreta
:
O que pede o problema:
- Determinar a função geratriz de cumulantes de
. - Usar a função geratriz de cumulantes para obter
e . - Determinar a função geratriz de probabilidade (ou seja, a função geradora de probabilidades
).
Informações relevantes fornecidas:
- A mgf
é exatamente . - Não há outras informações numéricas além dessa expressão.
Passo 2
O que é a função geratriz de cumulantes e por que usá-la aqui (explicação didática)?
- Definição: a função geratriz de cumulantes (também chamada de cumulant generating function, cgf) de
é
- Por que é útil: as derivadas de
em nos dão os cumulantes. Em particular: - O primeiro cumulante é
, que coincide com a média . - O segundo cumulante é
, que coincide com a variância .
- O primeiro cumulante é
- Justificativa curta (como provar na prova): como
, tem-se Então , , . Usando , Avaliando em : Isso mostra por que derivar em dá média e variância.
Passo 3
Calcular explicitamente a função geratriz de cumulantes
a partir da mgf dada.
- Temos
. - Tomando logaritmo,
Essa é a expressão fechada da cgf.
Passo 4
Obter
e
usando
(passo a passo).
- Derivadas de
: - Avaliando em
: - Conclusões:
-
. -
.
-
Pequena intuição amigável: tanto a média quanto a variância deram
— isso já é típico da distribuição de Poisson com parâmetro
, onde média e variância coincidem.
Passo 5
Identificar a distribuição e obter a função de massa de probabilidade (pmf) — detalhe didático.
- Observação: a mgf de uma variável aleatória
é . A nossa mgf tem exatamente essa forma com . Portanto . - Para extrair a pmf diretamente a partir da mgf (ou expandindo a expressão), escrevemos:
Expandindo em série de potências: Então Mas por definição . Comparando coeficientes de nas duas séries, obtemos a pmf:
Passo 6
Determinar a função geratriz de probabilidade
(explicando a relação com a mgf).
- A função geradora de probabilidades (pgf) é definida por
. Fazer a mudança (isto é, ) relaciona a pgf com a mgf: - Substituindo a mgf dada:
Essa é a pgf válida para (na prática a função é inteira e válida para todo complexo).
Passo 7
Resumo final rápido (para decorar na prova):
-
. -
, . -
. -
, para .