Uma v.a. discreta X tem função geratriz de momentos dada por m_{X}(t)= \exp \left[2\left(e^{t}-1\right)\right]. Determine a função geratriz de cumulantes de X e use-a para obter E(X) e \operatorname{Var}(X). Determine a função geratriz de probabilidade.

Passo 1

O enunciado dá a função geratriz de momentos (mgf) de uma v.a. discreta X:
m_{X}(t)=\exp\left[2\left(e^{t}-1\right)\right].
O que pede o problema:
  • Determinar a função geratriz de cumulantes de X.
  • Usar a função geratriz de cumulantes para obter E(X) e \operatorname{Var}(X).
  • Determinar a função geratriz de probabilidade (ou seja, a função geradora de probabilidades G_X(s)=E(s^X)).
Informações relevantes fornecidas:
  • A mgf m_X(t) é exatamente \exp\!\bigl(2(e^t-1)\bigr).
  • Não há outras informações numéricas além dessa expressão.

Passo 2

O que é a função geratriz de cumulantes e por que usá-la aqui (explicação didática)?
  • Definição: a função geratriz de cumulantes (também chamada de cumulant generating function, cgf) de X é
K_X(t)=\log m_X(t).
  • Por que é útil: as derivadas de K_X(t) em t=0 nos dão os cumulantes. Em particular:
    • O primeiro cumulante é K_X'(0), que coincide com a média E(X).
    • O segundo cumulante é K_X''(0), que coincide com a variância \operatorname{Var}(X).
  • Justificativa curta (como provar na prova): como m_X(t)=E(e^{tX}), tem-se m_X'(t)=E(Xe^{tX}),\qquad m_X''(t)=E(X^2 e^{tX}).Então m_X(0)=1, m_X'(0)=E(X), m_X''(0)=E(X^2). Usando K_X(t)=\log m_X(t), K_X'(t)=\frac{m_X'(t)}{m_X(t)},\qquad K_X''(t)=\frac{m_X''(t)}{m_X(t)}-\left(\frac{m_X'(t)}{m_X(t)}\right)^{2}.Avaliando em t=0: K_X'(0)=m_X'(0)=E(X), \qquad K_X''(0)=m_X''(0)-\bigl(m_X'(0)\bigr)^2=E(X^2)-[E(X)]^2=\operatorname{Var}(X).Isso mostra por que derivar K_X em 0 dá média e variância.

Passo 3

Calcular explicitamente a função geratriz de cumulantes K_X(t) a partir da mgf dada.
  • Temos m_X(t)=\exp\!\bigl[2(e^{t}-1)\bigr].
  • Tomando logaritmo,
K_X(t)=\log m_X(t)=2\bigl(e^{t}-1\bigr).
Essa é a expressão fechada da cgf.

Passo 4

Obter E(X) e \operatorname{Var}(X) usando K_X (passo a passo).
  • Derivadas de K_X(t): K_X'(t)=2e^{t}, \qquad K_X''(t)=2e^{t}.
  • Avaliando em t=0: K_X'(0)=2e^{0}=2, \qquad K_X''(0)=2e^{0}=2.
  • Conclusões:
    • E(X)=K_X'(0)=2.
    • \operatorname{Var}(X)=K_X''(0)=2.
Pequena intuição amigável: tanto a média quanto a variância deram 2 — isso já é típico da distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=2, onde média e variância coincidem.

Passo 5

Identificar a distribuição e obter a função de massa de probabilidade (pmf) — detalhe didático.
  • Observação: a mgf de uma variável aleatória \operatorname{Poisson}(\lambda) é \exp\!\bigl(\lambda(e^{t}-1)\bigr). A nossa mgf tem exatamente essa forma com \lambda=2. Portanto X\sim\operatorname{Poisson}(2).
  • Para extrair a pmf diretamente a partir da mgf (ou expandindo a expressão), escrevemos: m_X(t)=\exp\bigl(2e^{t}-2\bigr)=e^{-2}\exp\bigl(2e^{t}\bigr).Expandindo \exp(2e^{t}) em série de potências: \exp\bigl(2e^{t}\bigr)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2e^{t})^{k}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}e^{kt}.Então m_X(t)=e^{-2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}e^{kt}.Mas por definição m_X(t)=E(e^{tX})=\sum_{k=0}^{\infty}P(X=k)e^{kt}. Comparando coeficientes de e^{kt} nas duas séries, obtemos a pmf: P(X=k)=e^{-2}\frac{2^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots

Passo 6

Determinar a função geratriz de probabilidade G_X(s)=E(s^{X}) (explicando a relação com a mgf).
  • A função geradora de probabilidades (pgf) é definida por G_X(s)=E(s^{X}). Fazer a mudança s=e^{t} (isto é, t=\log s) relaciona a pgf com a mgf: G_X(s)=m_X(\log s).
  • Substituindo a mgf dada: G_X(s)=\exp\!\bigl(2(s-1)\bigr).Essa é a pgf válida para s>0 (na prática a função é inteira e válida para todo s complexo).

Passo 7

Resumo final rápido (para decorar na prova):
  • K_X(t)=2\bigl(e^{t}-1\bigr).
  • E(X)=2, \operatorname{Var}(X)=2.
  • G_X(s)=\exp\!\bigl(2(s-1)\bigr).
  • P(X=k)=e^{-2}\dfrac{2^{k}}{k!}, para k=0,1,2,\dots.

Resposta

K_X(t)=2\bigl(e^{t}-1\bigr)
E(X)=2
\operatorname{Var}(X)=2
G_X(s)=\exp\!\bigl(2(s-1)\bigr)
P(X=k)=e^{-2}\dfrac{2^{k}}{k!},\quad k=0,1,2,\dots

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