Uma moeda honesta é lançada três vezes. Seja
o número total de caras que ocorre. Obtenha
e use-a para calcular
e
.
Passo 1
O enunciado dá que uma moeda honesta é lançada três vezes e define
como o número total de caras (heads) observadas. Perguntas claras:
- Obter
. - Usar
para calcular e .
Informações relevantes fornecidas:
- Cada lançamento tem duas possibilidades (cara ou coroa) e a moeda é honesta, então cada sequência de três lançamentos tem probabilidade
. - A variável
pode assumir os valores .
Passo 2
O que é
(definição):
é a função geradora de probabilidade (probability generating function) de
, definida por
Interpretação simples: multiplica cada potência
pela probabilidade de ocorrer exatamente
caras e soma tudo. Mais adiante usaremos propriedades úteis:
Daí segue diretamente que
E uma fórmula prática para a variância é
Passo 3
Escolher a distribuição de
. Como são
lançamentos independentes e a moeda é honesta (
para cara),
tem distribuição binomial com
e
. Assim, para
,
Passo 4
Calcular
usando a expressão acima:
Pelo Teorema binomial,
. Logo
Passo 5
Derivar
para obter momentos:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Avaliar as derivadas em
e calcular
e
:
Usando a fórmula da variância via geradora:
(Verificação rápida: para uma binomial
vale
e
, coincide com o resultado.)
Passo 7
Resumo final e moralzinha: a função geradora ficou bem simples
. Para obter esperanças e variâncias a receita é sempre a mesma: derivar, avaliar em
e combinar
para a variância. Força aí — com essa técnica dá para resolver rápido em prova!