Uma moeda honesta é lançada três vezes. Seja U o número total de caras que ocorre. Obtenha \Psi_{U}(t) e use-a para calcular E(U) e \operatorname{Var}(U).

Passo 1

O enunciado dá que uma moeda honesta é lançada três vezes e define U como o número total de caras (heads) observadas. Perguntas claras:
  • Obter \Psi_{U}(t).
  • Usar \Psi_{U}(t) para calcular E(U) e \operatorname{Var}(U).
Informações relevantes fornecidas:
  • Cada lançamento tem duas possibilidades (cara ou coroa) e a moeda é honesta, então cada sequência de três lançamentos tem probabilidade \tfrac{1}{8}.
  • A variável U pode assumir os valores 0,1,2,3.

Passo 2

O que é \Psi_{U}(t) (definição): \Psi_{U}(t) é a função geradora de probabilidade (probability generating function) de U, definida por
\Psi_{U}(t)=\mathbb{E}\bigl(t^{U}\bigr)=\sum_{k=0}^{3} t^{k}\Pr(U=k).
Interpretação simples: multiplica cada potência t^{k} pela probabilidade de ocorrer exatamente k caras e soma tudo. Mais adiante usaremos propriedades úteis:
\Psi_{U}'(t)=\sum_{k=0}^{3} k\,t^{\,k-1}\Pr(U=k), \qquad \Psi_{U}''(t)=\sum_{k=0}^{3} k(k-1)\,t^{\,k-2}\Pr(U=k).
Daí segue diretamente que
\Psi_{U}'(1)=\mathbb{E}(U), \qquad \Psi_{U}''(1)=\mathbb{E}\bigl(U(U-1)\bigr).
E uma fórmula prática para a variância é
\operatorname{Var}(U)=\mathbb{E}\bigl(U(U-1)\bigr)+\mathbb{E}(U)-\bigl(\mathbb{E}(U)\bigr)^{2} =\Psi_{U}''(1)+\Psi_{U}'(1)-\bigl(\Psi_{U}'(1)\bigr)^{2}.

Passo 3

Escolher a distribuição de U. Como são 3 lançamentos independentes e a moeda é honesta ( p=\tfrac{1}{2} para cara), U tem distribuição binomial com n=3 e p=\tfrac{1}{2}. Assim, para k\in\{0,1,2,3\},
\Pr(U=k)=\binom{3}{k}\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{k}\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{3-k}=\binom{3}{k}\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{3}=\frac{\binom{3}{k}}{8}.

Passo 4

Calcular \Psi_{U}(t) usando a expressão acima:
\Psi_{U}(t)=\sum_{k=0}^{3} t^{k}\frac{\binom{3}{k}}{8}=\frac{1}{8}\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}t^{k}.
Pelo Teorema binomial, \sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}t^{k}=(1+t)^{3}. Logo
\Psi_{U}(t)=\frac{(1+t)^{3}}{8}=\Bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}t\Bigr)^{3}.

Passo 5

Derivar \Psi_{U}(t) para obter momentos:
\Psi_{U}(t)=\frac{1}{8}(1+t)^{3}.
Primeira derivada:
\Psi_{U}'(t)=\frac{1}{8}\cdot 3(1+t)^{2}=\frac{3}{8}(1+t)^{2}.
Segunda derivada:
\Psi_{U}''(t)=\frac{3}{8}\cdot 2(1+t)=\frac{3}{4}(1+t).

Passo 6

Avaliar as derivadas em t=1 e calcular E(U) e \operatorname{Var}(U):
\Psi_{U}'(1)=\frac{3}{8}(1+1)^{2}=\frac{3}{8}\cdot 4=\frac{3}{2}.
\Psi_{U}''(1)=\frac{3}{4}(1+1)=\frac{3}{4}\cdot 2=\frac{3}{2}.
Usando a fórmula da variância via geradora:
\operatorname{Var}(U)=\Psi_{U}''(1)+\Psi_{U}'(1)-\bigl(\Psi_{U}'(1)\bigr)^{2} =\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{2}=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}.
(Verificação rápida: para uma binomial n=3,p=\tfrac{1}{2} vale E(U)=np=\tfrac{3}{2} e \operatorname{Var}(U)=np(1-p)=3\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{4}, coincide com o resultado.)

Passo 7

Resumo final e moralzinha: a função geradora ficou bem simples \Psi_{U}(t)=\bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}t\bigr)^{3}. Para obter esperanças e variâncias a receita é sempre a mesma: derivar, avaliar em t=1 e combinar \Psi''(1)+\Psi'(1)-(\Psi'(1))^{2} para a variância. Força aí — com essa técnica dá para resolver rápido em prova!

Resposta

\Psi_{U}(t)=\bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}t\bigr)^{3}=\dfrac{(1+t)^{3}}{8}\n
E(U)=\dfrac{3}{2}\n
\operatorname{Var}(U)=\dfrac{3}{4}

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