Uma v.a. X tem sua densidade de probabilidade dada abaixo. Determine a função geratriz de cumulantes de X e use-a para obter E(X) e \operatorname{Var}(X)
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{cc}
x e^{-x}, & x>0 \\\\ 0, & c . c
\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a densidade da v.a. X\):
\[f_{X}(x)=\begin{cases} x e^{-x}, & x>0,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
As tarefas pedidas são:
determinar a função geratriz de cumulantes de X\] (ou seja, \(K_X(t));
usar essa função para obter \,E(X)\, e \,\operatorname{Var}(X).
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
A densidade é positiva somente para x>0.
A forma x e^{-x} indica que X pertence à família Gama (mas isso não é necessário reconhecer para resolver; é só um comentário).]
Passo 2
Vou definir o que é a geratriz de momentos (MGF) e a geratriz de cumulantes (CGF) e explicar como delas se obtêm a média e a variância.
A função geratriz de momentos de X é
M_X(t)=E\bigl(e^{tX}\bigr).
Significado: M_X(t) é a média do valor e^{tX}. Para cada t onde a integral converge, M_X(t) existe.
A função geratriz de cumulantes é definida por
K_X(t)=\ln M_X(t).
Significado: K_X(t) é o logaritmo da MGF. As derivadas de K_X em t=0 dão os cumulantes: