Um dado balanceado é lançado uma vez. Seja X o número de faces 6’s que ocorre. Determine m_{X}(t) e use-a para calcular os três primeiros momentos de X.

Passo 1

O enunciado dá que um dado balanceado é lançado uma vez e define X como o número de faces 6’s que ocorre. As perguntas do problema são:
  • Determinar m_{X}(t), a função geradora de momentos (MGF) de X.
  • Usar m_{X}(t) para calcular os três primeiros momentos de X: E[X], E[X^{2}] e E[X^{3}].
Informações relevantes dadas:
  • O experimento é um único lançamento de um dado justo (balanceado).
  • Portanto X só pode assumir os valores 0 (não saiu 6) ou 1 (saiu 6).
  • As probabilidades são: P(X=1)=\frac{1}{6},\qquad P(X=0)=\frac{5}{6}.

Passo 2

O que é a função geradora de momentos (MGF) e como usá-la (aula curta e prática).
  • Definição: para uma variável aleatória X, a MGF é m_{X}(t)=E\big[e^{tX}\big].Aqui t é um parâmetro real e e^{tX} é a função cujo valor médio estamos calculando.
  • Relação com momentos: se m_{X} é diferenciável em t=0, então as derivadas em 0 dão os momentos: m_{X}^{(n)}(0)=E\big[X^{n}\big],onde m_{X}^{(n)} é a n-ésima derivada de m_{X} em relação a t.
  • Intuição rápida: a MGF “codifica” todos os momentos numa função; derivando e avaliando em 0 “extrai-se” os momentos.

Passo 3

Construir m_{X}(t) a partir da distribuição discreta de X.
  • Como X só assume 0 ou 1, o cálculo de E[e^{tX}] vira soma sobre esses dois valores: m_{X}(t)=E\big[e^{tX}\big]=\sum_{x\in\{0,1\}} e^{t x}\,P(X=x).
  • Substituindo as probabilidades que listamos no Passo 1, obtemos o somatório explícito.

Passo 4

Calcular explicitamente m_{X}(t).
  • Aplicando o somatório: m_{X}(t)=e^{t\cdot 0}\,P(X=0)+e^{t\cdot 1}\,P(X=1)
m_{X}(t)=1\cdot\frac{5}{6}+e^{t}\cdot\frac{1}{6}.
  • Portanto m_{X}(t)=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}e^{t}.

Passo 5

Calcular o primeiro momento E[X] usando a MGF (derivada primeira).
  • Fórmula: E[X]=m_{X}'(0).
  • Derivando m_{X}(t): m_{X}'(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{5}{6}+\frac{1}{6}e^{t}\right)=\frac{1}{6}e^{t}.
  • Avaliando em t=0: E[X]=m_{X}'(0)=\frac{1}{6}e^{0}=\frac{1}{6}.

Passo 6

Calcular o segundo momento E[X^{2}] usando a MGF (derivada segunda).
  • Fórmula: E[X^{2}]=m_{X}''(0).
  • Derivando novamente: m_{X}''(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{6}e^{t}\right)=\frac{1}{6}e^{t}.
  • Avaliando em t=0: E[X^{2}]=m_{X}''(0)=\frac{1}{6}e^{0}=\frac{1}{6}.
  • Observação didática: faz sentido que E[X^{2}]=E[X] aqui porque, para uma variável de Bernoulli, X^{2}=X (já que 0^{2}=0 e 1^{2}=1).

Passo 7

Calcular o terceiro momento E[X^{3}] usando a MGF (derivada terceira).
  • Fórmula: E[X^{3}]=m_{X}'''(0).
  • Derivando novamente: m_{X}'''(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{6}e^{t}\right)=\frac{1}{6}e^{t}.
  • Avaliando em t=0: E[X^{3}]=m_{X}'''(0)=\frac{1}{6}e^{0}=\frac{1}{6}.
  • Observação: assim como antes, X^{3}=X para Bernoulli, então todos os momentos de ordem \ge 1 valem P(X=1)=\tfrac{1}{6}.

Resposta

m_{X}(t)=\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6}e^{t}
E[X]=\dfrac{1}{6}
E[X^{2}]=\dfrac{1}{6}
E[X^{3}]=\dfrac{1}{6}

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