Um dado balanceado é lançado uma vez. Seja
o número de faces 6’s que ocorre. Determine
e use-a para calcular os três primeiros momentos de
.
Passo 1
O enunciado dá que um dado balanceado é lançado uma vez e define
como o número de faces 6’s que ocorre. As perguntas do problema são:
- Determinar
, a função geradora de momentos (MGF) de . - Usar
para calcular os três primeiros momentos de : , e .
Informações relevantes dadas:
- O experimento é um único lançamento de um dado justo (balanceado).
- Portanto
só pode assumir os valores (não saiu 6) ou (saiu 6). - As probabilidades são:
Passo 2
O que é a função geradora de momentos (MGF) e como usá-la (aula curta e prática).
- Definição: para uma variável aleatória
, a MGF é Aqui é um parâmetro real e é a função cujo valor médio estamos calculando. - Relação com momentos: se
é diferenciável em , então as derivadas em dão os momentos: onde é a -ésima derivada de em relação a . - Intuição rápida: a MGF “codifica” todos os momentos numa função; derivando e avaliando em
“extrai-se” os momentos.
Passo 3
Construir
a partir da distribuição discreta de
.
- Como
só assume ou , o cálculo de vira soma sobre esses dois valores: - Substituindo as probabilidades que listamos no Passo 1, obtemos o somatório explícito.
Passo 4
Calcular explicitamente
.
- Aplicando o somatório:
- Portanto
Passo 5
Calcular o primeiro momento
usando a MGF (derivada primeira).
- Fórmula:
. - Derivando
: - Avaliando em
:
Passo 6
Calcular o segundo momento
usando a MGF (derivada segunda).
- Fórmula:
. - Derivando novamente:
- Avaliando em
: - Observação didática: faz sentido que
aqui porque, para uma variável de Bernoulli, (já que e ).
Passo 7
Calcular o terceiro momento
usando a MGF (derivada terceira).
- Fórmula:
. - Derivando novamente:
- Avaliando em
: - Observação: assim como antes,
para Bernoulli, então todos os momentos de ordem valem .