Discuss the applicability of the final-value theorem for the function cos t.

Passo 1

O enunciado pede para discutir a aplicabilidade do Teorema do Valor Final na função cos t. Vamos precisar da transformada de Laplace de cos t e das condições de validade do teorema.

Passo 2

Calculemos a transformada de Laplace de cos t:
F(s)=Lcos t=integral0^inftye^-stcos t,dt=ss^2+1

Passo 3

O Teorema do Valor Final diz que, se for aplicável,
limttoinftyf(t)=limsto0sF(s)
Aqui,
sF(s)=s^2s^2+1, limsto0sF(s)=0

Passo 4

Na verdade, no domínio do tempo,
limttoinftycos t
não existe, pois cos t oscila permanentemente entre -1 e 1.

Passo 5

As condições de validade do Teorema do Valor Final exigem que todos os polos de sF(s) estejam estritamente no semiplano esquerdo (parte real negativa), salvo um polo simples em s=0. Contudo,
sF(s)=s^2s^2+1
tem polos em s=pm i (no eixo imaginário), o que viola essas condições. Portanto, o teorema não se aplica.

Resposta

O Teorema do Valor Final não é aplicável a cos t, pois sF(s) possui polos em s=pm i e o limite limttoinftycos t não existe.

Exercícios relacionados