Verify the final-value theorem for the function t^3 e^-2 t.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar o teorema do valor final para a função f(t)=t^3e^-2t. Para isso, vamos (1) calcular a transformada de Laplace F(s) de f(t), (2) avaliar limttoinftyf(t) e (3) avaliar limsto0sF(s), comparando os resultados.

Passo 2

Usamos a propriedade de deslocamento no domínio de s e a fórmula
Lt^n=n!s^n+1
para obter
F(s)=integral0^inftyt^3e^-2te^-stdt =integral0^inftyt^3e^-(s+2)tdt =3!(s+2)^4 =6(s+2)^4

Passo 3

Avaliamo limttoinftyf(t). Como a exponencial domina o polinômio,
limttoinftyt^3e^-2t=0

Passo 4

Agora calculamos
limsto0sF(s) =limsto0s6(s+2)^4 =6cdot02^4 =0

Resposta

Ambos os limites são iguais a 0, logo o teorema do valor final se verifica para t^3e^-2t.

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