Verify the final-value theorem for the function 1+e^-t(sin t+cos t).

Passo 1

O enunciado pede para verificar o teorema do valor final na função
f(t)=1+e^-tl(sin t+cos tr)
O conteúdo é o Teorema do Valor Final em transformada de Laplace, que diz que se todos os polos de sF(s) estiverem no semiplano esquerdo (ou no máximo um em s=0 de ordem 1), então
limttoinftyf(t) = limsto0s,F(s)

Passo 2

Vamos primeiro achar
limttoinftyf(t)
Como sin t e cos t são funções limitadas em [-1,1] e o fator e^-t vai a zero quando ttoinfty, segue que
limttoinftye^-tl(sin t+cos tr)=0
Logo
limttoinftyf(t) =limttoinftyl[1+e^-t(sin t+cos t)r] =1

Passo 3

Agora calculamos a transformada de Laplace
F(s)=Lf(t) =L1+Le^-tsin t+Le^-tcos t
Sabemos que
L1=1s, Le^-tsin t =1(s+1)^2+1, Le^-tcos t =s+1(s+1)^2+1
Somando, obtemos
F(s) =1s +1(s+1)^2+1 +s+1(s+1)^2+1 =1s +s+2(s+1)^2+1

Passo 4

Aplicamos agora
limsto0s,F(s) =limsto0gl[ scdot1s +;scdots+2(s+1)^2+1 gr] =limsto0l[1 +s(s+2)(s+1)^2+1r]
Como o segundo termo tende a zero quando sto0, fica
limsto0s,F(s)=1

Passo 5

Verificamos as condições do teorema: os polos de sF(s) vêm da equação (s+1)^2+1=0, i.e., s=-1pm j, ambos no semiplano esquerdo, e não há polo de ordem maior que 1 em s=0. Portanto o teorema do valor final vale.

Resposta

limttoinftyf(t) =1 e limsto0s,F(s) =1,
logo o Teorema do Valor Final está verificado.

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