Verify the final-value theorem for the function
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o teorema do valor final na função
O conteúdo é o Teorema do Valor Final em transformada de Laplace, que diz que se todos os polos de
estiverem no semiplano esquerdo (ou no máximo um em
de ordem
), então
Passo 2
Vamos primeiro achar
Como
e
são funções limitadas em
e o fator
vai a zero quando
, segue que
Logo
Passo 3
Agora calculamos a transformada de Laplace
Sabemos que
Somando, obtemos
Passo 4
Aplicamos agora
Como o segundo termo tende a zero quando
, fica
Passo 5
Verificamos as condições do teorema: os polos de
vêm da equação
, i.e.,
, ambos no semiplano esquerdo, e não há polo de ordem maior que
em
. Portanto o teorema do valor final vale.
Resposta
logo o Teorema do Valor Final está verificado.