If F(t) sim c t^p as t 0 where p>-1, prove that f(s) sim c Gamma(p+1) / s^p+1 as s infty.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função F(t) tal que
F(t)sim c,t^pquando tto0,
com p>-1. Queremos mostrar que a transformada de Laplace
f(s)=integral0^inftye^-s tF(t),dt
satisfaz
f(s)sim c,Gamma(p+1)s^p+1 quando stoinfty
O conteúdo principal aqui é a aplicação do Lema de Watson (ou método de expansão assintótica da integral de Laplace) para comportamentos em tto0.

Passo 2

Escolhemos um ponto fixo de<a>0 pequeno de modo que, para 0<= t<= de<a,
F(t)=c,t^pl(1+varepsilon(t)r),
onde varepsilon(t)to0 quando tto0. Escrevemos
f(s) =integral0^inftye^-s tF(t),dt =integral0^de<ae^-s tF(t),dt +integralde<a^inftye^-s tF(t),dt

Passo 3

Analisamos o termo da cauda. Como F é limitada em [de<a,infty), existe M tal que lvert F(t)rvert<= M. Então
llvert integralde<a^inftye^-s tF(t),dtrrvert <= Mintegralde<a^inftye^-s t,dt =Ms,e^-sde<a
que decai exponencialmente e é o(s^-p-1) quando stoinfty.

Passo 4

Agora o intervalo principal 0<= t<=de<a. Usando F(t)=c,t^p(1+varepsilon(t)), escrevemos
integral0^de<ae^-s tF(t),dt =cintegral0^de<ae^-s tt^p,dt +underbracecintegral0^de<ae^-s tt^p,varepsilon(t),dtR(s)
Mostramos que o resto R(s) é também o(s^-p-1). De fato, lvert varepsilon(t)rvert<=sup[0,de<a]|varepsilon|=eta(de<a) com eta(de<a)to0 quando de<ato0. Então
|R(s)|<= c,eta(de<a)integral0^de<ae^-s tt^p,dt <= c,eta(de<a)integral0^inftye^-s tt^p,dt =c,eta(de<a),Gamma(p+1)s^p+1,
e como eta(de<a) pode ser levado arbitrariamente pequeno, R(s)=o(s^-p-1).

Passo 5

Portanto, para stoinfty,
f(s) =underbracecintegral0^de<ae^-s tt^p,dtI(s) +ol(s^-p-1r)
Mas conhecemos a integral imprópria
integral0^inftye^-s tt^p,dt =Gamma(p+1)s^p+1
Além disso, a diferença
integralde<a^inftye^-s tt^p,dt
também é o(s^-p-1) por decaimento exponencial. Logo
I(s)=integral0^de<ae^-s tt^p,dt =Gamma(p+1)s^p+1+ol(s^-p-1r)

Resposta

Em conclusão,
f(s)=integral0^inftye^-s tF(t),dt sim c,Gamma(p+1)s^p+1 quando stoinfty

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