If
as
where
, prove that
as
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
tal que
com
. Queremos mostrar que a transformada de Laplace
satisfaz
O conteúdo principal aqui é a aplicação do Lema de Watson (ou método de expansão assintótica da integral de Laplace) para comportamentos em
.
Passo 2
Escolhemos um ponto fixo
pequeno de modo que, para
,
onde
quando
. Escrevemos
Passo 3
Analisamos o termo da cauda. Como
é limitada em
, existe
tal que
. Então
que decai exponencialmente e é
o(s^-p-1) quando
stoinfty .
Passo 4
Agora o intervalo principal
0<= t<=de<a . Usando
F(t)=c,t^p(1+varepsilon(t)) , escrevemos
Mostramos que o resto
R(s) é também
o(s^-p-1) . De fato,
lvert varepsilon(t)rvert<=sup[0,de<a]|varepsilon|=eta(de<a) com
eta(de<a)to0 quando
de<ato0 . Então
e como
eta(de<a) pode ser levado arbitrariamente pequeno,
R(s)=o(s^-p-1) .
Passo 5
Portanto, para
stoinfty ,
Mas conhecemos a integral imprópria
Além disso, a diferença
integralde<a^inftye^-s tt^p,dt
também éo(s^-p-1) por decaimento exponencial. Logo
também é
Resposta
Em conclusão,