Discuta a afirmação: não existe uma função f de classe C^2 no plano, de modo que a derivada total de f(x(t), y(t)) valha
d fd t=y e^x y dotx(t)+e^x y doty(t)

Passo 1

O enunciado quer saber se existe uma função f∈C²(ℝ²) tal que para toda curva (x(t),y(t)) se tenha
ddtfl(x(t),y(t)r)=y,e^xy,dot x(t)+e^xy,dot y(t)
Isso equivale a pedir que o diferencial de f seja a 1-forma ω=P(x,y)dx+Q(x,y)dy, com P=y e^{xy} e Q=e^{xy}.

Passo 2

Para que uma 1-forma ω seja exata (isto é, exista f de classe C² com df=ω) em um domínio simplesmente conexo como ℝ², é necessário e suficiente que ela seja fechada. Isso significa exigir
partial Ppartial y=partial Qpartial x

Passo 3

Vamos calcular partial P/partial y. Como P(x,y)=y,e^xy, aplicamos a regra do produto e a derivada de e^xy em relação a y:
partial Ppartial y=e^xy+ycdot x,e^xy=e^xy(1+xy)

Passo 4

Agora calculamos partial Q/partial x. Como Q(x,y)=e^xy, temos
partial Qpartial x=y,e^xy

Passo 5

Comparando as duas derivadas: partial P/partial y=e^xy(1+xy) e partial Q/partial x=y,e^xy. Vemos que
e^xy(1+xy)neq y,e^xy
a menos que ocorra uma coincidência pontual sem validade geral.

Passo 6

Como a condição de fechamento partial P/partial y=partial Q/partial x não se satisfaz em ℝ², a 1-forma não é exata e, portanto, não existe f∈C² que produza aquele total derivado ao longo de toda curva.

Resposta

Não existe tal função f de classe C², pois a 1-forma y,e^xy,dx+e^xy,dy não é fechada ( partial P/partial yneqpartial Q/partial x).

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