Discuta a afirmação: não existe uma função
de classe
no plano, de modo que a derivada total de
valha
Passo 1
O enunciado quer saber se existe uma função f∈C²(ℝ²) tal que para toda curva (x(t),y(t)) se tenha
Isso equivale a pedir que o diferencial de f seja a 1-forma ω=P(x,y)dx+Q(x,y)dy, com P=y e^{xy} e Q=e^{xy}.
Passo 2
Para que uma 1-forma ω seja exata (isto é, exista f de classe C² com df=ω) em um domínio simplesmente conexo como ℝ², é necessário e suficiente que ela seja fechada. Isso significa exigir
Passo 3
Vamos calcular
. Como
, aplicamos a regra do produto e a derivada de
em relação a y:
Passo 4
Agora calculamos
. Como
, temos
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
e
. Vemos que
a menos que ocorra uma coincidência pontual sem validade geral.
Passo 6
Como a condição de fechamento
não se satisfaz em ℝ², a 1-forma não é exata e, portanto, não existe f∈C² que produza aquele total derivado ao longo de toda curva.
Resposta
Não existe tal função f de classe C², pois a 1-forma
não é fechada (
).