Discuta como o cálculo de um volume usando uma integral dupla iterada corresponde ao método de calcular um volume por fatias (Seção 6.2, no Volume 1).

Passo 1

O enunciado nos convida a comparar dois métodos de calcular o volume de um sólido sob a superfície z=f(x,y) sobre uma região plana R: o método de fatias (Seção 6.2) e o método da integral dupla iterada. No método de fatias, dividimos o sólido em lâminas transversais de espessura dx (ou dy) e área A(x) (ou B(y)), obtendo\r
V = integrala^b A(x),dx \r
Já na integral dupla temos\r
V = integral duplaR f(x,y),dA

Passo 2

No método de fatias ao longo do eixo x, para cada xin[a,b] consideramos a lâmina perpendicular ao eixo x cuja área é a área da região sob a curva z=f(x,y) de y=c(x) a y=d(x). Essa área é\r
A(x) ;=;integraly=c(x)^d(x) f(x,y),dy \r
Geometricamente, somamos as alturas f(x,y) sobre cada retângulo infinitesimal de base dy.

Passo 3

Para obter o volume, somamos (integramos) todas as lâminas de x=a até x=b:\r
V = integralx=a^b A(x),dx \r
Substituindo a expressão de A(x),\r
V = integrala^bl(integralc(x)^d(x) f(x,y),dyr),dx, \r
que é exatamente a forma de integral dupla iterada em ordem dy,dx.

Passo 4

Analogamente, se quisermos fatiar perpendicular ao eixo y, definimos\r
B(y) ;=;integralx=u(y)^v(y) f(x,y),dx \r
e escrevemos\r
V = integraly=e^f B(y),dy Longrightarrow V = integrale^fl(integralu(y)^v(y) f(x,y),dxr),dy \r
A troca de ordem das integrais é garantida pelo Teorema de Fubini quando f é contínua em R.

Passo 5

Concluímos que a integral dupla iterada é a formalização do método de fatias: a integral interna calcula a área de cada lâmina transversal (perpendicular a x ou a y) e a integral externa soma essas áreas multiplicadas pela espessura infinitesimal, reconstruindo o volume total exatamente como descrito na Seção 6.2.

Resposta

O cálculo de volume por integral dupla iterada coincide com o método de fatias porque a integral interna fornece a área de cada lâmina transversal e a integral externa soma essas lâminas ao longo do eixo escolhido, dando o mesmo resultado do procedimento de Seção 6.2.

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