Discuta como o cálculo de um volume usando uma integral dupla iterada corresponde ao método de calcular um volume por fatias (Seção 6.2, no Volume 1).
Passo 1
O enunciado nos convida a comparar dois métodos de calcular o volume de um sólido sob a superfície
sobre uma região plana
: o método de fatias (Seção 6.2) e o método da integral dupla iterada. No método de fatias, dividimos o sólido em lâminas transversais de espessura
(ou
) e área
(ou
), obtendo\r
Já na integral dupla temos\r
Passo 2
No método de fatias ao longo do eixo
, para cada
consideramos a lâmina perpendicular ao eixo
cuja área é a área da região sob a curva
de
a
. Essa área é\r
Geometricamente, somamos as alturas
sobre cada retângulo infinitesimal de base
.
Passo 3
Para obter o volume, somamos (integramos) todas as lâminas de
até
:\r
Substituindo a expressão de
,\r
que é exatamente a forma de integral dupla iterada em ordem
.
Passo 4
Analogamente, se quisermos fatiar perpendicular ao eixo
, definimos\r
e escrevemos\r
A troca de ordem das integrais é garantida pelo Teorema de Fubini quando
é contínua em
.
Passo 5
Concluímos que a integral dupla iterada é a formalização do método de fatias: a integral interna calcula a área de cada lâmina transversal (perpendicular a
ou a
) e a integral externa soma essas áreas multiplicadas pela espessura infinitesimal, reconstruindo o volume total exatamente como descrito na Seção 6.2.
Resposta
O cálculo de volume por integral dupla iterada coincide com o método de fatias porque a integral interna fornece a área de cada lâmina transversal e a integral externa soma essas lâminas ao longo do eixo escolhido, dando o mesmo resultado do procedimento de Seção 6.2.