Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso envolve entender como uma série infinita se comporta dependendo do valor de . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série , se , então:
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, an = (-1)^n-1(x-2)^nraiz3 n.
Passo 3
Vamos calcular :
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty | (x-2) cdot raiznn+1 | = |x-2| cdot limn to infty raiznn+1
Sabemos que:
limn to infty raiznn+1 = raiz1 = 1
Portanto, o limite fica:
limn to infty | an+1an | = |x-2|
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
|x-2| < 1
Isso nos dá a condição de convergência. Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de x.
Passo 6
Resolvendo |x-2| < 1:
-1 < x - 2 < 1
Adicionando 2 em todos os lados:
1 < x < 3
Então, o intervalo de convergência preliminar é 1 < x < 3.
Passo 7
O raio de convergência é a metade do comprimento do intervalo de convergência. Como o intervalo vai de 1 a 3, o comprimento é 2. Então, o raio é:
R = 22 = 1
Passo 8
Agora, precisamos verificar as pontas do intervalo, ou seja, x = 1 e x = 3, para ver se a série converge nesses pontos.
Para x = 1:
sumn=1^+infty (-1)^n-1(1-2)^nraiz3 n = sumn=1^+infty (-1)^n-1(-1)^nraiz3 n = sumn=1^+infty -1raiz3 n
Essa série é uma série p com p = 12, que diverge porque p <= 1.
Para x = 3:
sumn=1^+infty (-1)^n-1(3-2)^nraiz3 n = sumn=1^+infty (-1)^n-1raiz3 n
Essa é uma série alternada. Aplicando o Teste da Série Alternada, verificamos que 1raiz3 n é decrescente e tende a zero, então a série converge.
Resposta
O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é 1 < x <= 3.