Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
sumn=1^+infty (-1)^n-1(x-2)^nraiz3 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=1^+infty (-1)^n-1(x-2)^nraiz3 n. Isso envolve entender como uma série infinita se comporta dependendo do valor de x. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série sum an, se limn to infty | an+1an | = L, então:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, an = (-1)^n-1(x-2)^nraiz3 n.

Passo 3

Vamos calcular :
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty | (x-2) cdot raiznn+1 | = |x-2| cdot limn to infty raiznn+1
Sabemos que:
limn to infty raiznn+1 = raiz1 = 1
Portanto, o limite fica:
limn to infty | an+1an | = |x-2|

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
|x-2| < 1
Isso nos dá a condição de convergência. Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de x.

Passo 6

Resolvendo |x-2| < 1:
-1 < x - 2 < 1
Adicionando 2 em todos os lados:
1 < x < 3
Então, o intervalo de convergência preliminar é 1 < x < 3.

Passo 7

O raio de convergência é a metade do comprimento do intervalo de convergência. Como o intervalo vai de 1 a 3, o comprimento é 2. Então, o raio é:
R = 22 = 1

Passo 8

Agora, precisamos verificar as pontas do intervalo, ou seja, x = 1 e x = 3, para ver se a série converge nesses pontos.
Para x = 1:
sumn=1^+infty (-1)^n-1(1-2)^nraiz3 n = sumn=1^+infty (-1)^n-1(-1)^nraiz3 n = sumn=1^+infty -1raiz3 n
Essa série é uma série p com p = 12, que diverge porque p <= 1.
Para x = 3:
sumn=1^+infty (-1)^n-1(3-2)^nraiz3 n = sumn=1^+infty (-1)^n-1raiz3 n
Essa é uma série alternada. Aplicando o Teste da Série Alternada, verificamos que 1raiz3 n é decrescente e tende a zero, então a série converge.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é 1 < x <= 3.

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