O valor médio de uma função contínua f(x, y) em um retângulo R=[a, b] times[c, d] é definido como
fm=1A(R) integralegral duplaR f(x, y) d A
onde A(R)=(b-a)(d-c) é a área do retângulo R (comparar com a Definição 5.8.1, do Volume 1). Use essa definição nestes exercícios.
Suponha que a temperatura, em graus Celsius, num ponto (x, y) de uma chapa metálica plana seja T(x, y)=10-8 x^2-2 y^2, onde x e y estāo em metros. Calcule a temperatura média da porção retangular da chapa dada por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura média de uma chapa metálica, dada por
T(x,y)=10-8x^2-2y^2,
no retângulo
R=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=2
O conteúdo é valor médio de função de duas variáveis, calculado por
fm=1A(R)integral duplaRf(x,y),dA

Passo 2

Calculamos a área do retângulo:
A(R)=(1-0)cdot(2-0)=2

Passo 3

Aplicamos a definição de valor médio:
Tm =12integralx=0^1integraly=0^2l(10-8x^2-2y^2r),dy,dx

Passo 4

Primeiro, integramos em y:
integral0^2l(10-8x^2-2y^2r),dy =10cdot2-8x^2cdot2-2integral0^2y^2,dy =20-16x^2-2cdot83 = 443-16x^2

Passo 5

Agora integramos em x e multiplicamos por tfrac12:
Tm =12integral0^1l(443-16x^2r),dx =12l[443x-163x^3r]0^1 =12cdot283 =143

Resposta

A temperatura média da porção retangular é 143 circC.

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