Discuta o comportamento das séries abaixo, justificando sua resposta:
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3 n}{1+8 n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos pede para discutir a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3n}{1+8n}\right)^{n}.
O conteúdo principal aqui é o Teste da Raiz de Cauchy, que nos permite verificar se
\sum a_{n} converge analisando
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \left(\frac{3n}{1+8n}\right)^{n}.
Pelo Teste da Raiz, calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = \lim_{n\to\infty} \frac{3n}{1+8n}.

Passo 3

Para encontrar
\displaystyle L = \lim_{n\to\infty}\frac{3n}{1+8n}, dividimos numerador e denominador por n:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{\frac{1}{n}+8} = \frac{3}{0+8} = \frac{3}{8}.

Passo 4

Como \displaystyle L=\tfrac{3}{8}<1, o Teste da Raiz garante que
\sum a_{n} converge absolutamente. Logo, a série converge.

Resposta

A série
\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\bigl(\tfrac{3n}{1+8n}\bigr)^{n}
converge absolutamente (e portanto converge).

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