Resolva:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=5 x+2 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' = 5x + 2e^x.
O conteúdo é “equação linear não homogênea” e vamos precisar encontrar a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados).

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
y'' + y' = 0.
A equação característica é
r^2 + r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r(r+1)=0\quad\Longrightarrow\quad r=0,\,-1.
Logo a solução homogênea é
y_h(x) = C_1 + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p escrevendo-a como soma de uma parte polinomial (para 5x) e de uma parte exponencial (para 2e^x):
y_p(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x),
onde assumimos
y_{p1}(x) = a x^2 + b x \quad\text{e}\quad y_{p2}(x) = C e^x.

Passo 4

Calculamos y_{p1}'' + y_{p1}'. Temos
y_{p1}' = 2a x + b, \quad y_{p1}'' = 2a,
logo
y_{p1}'' + y_{p1}' = 2a x + (2a + b).
Para que isso iguale 5x, igualamos coeficientes:
2a = 5,\quad 2a + b = 0 \;\Longrightarrow\; a = \tfrac{5}{2},\; b = -5.

Passo 5

Agora calculamos y_{p2}'' + y_{p2}'. Como
y_{p2}' = C e^x, \quad y_{p2}'' = C e^x,
vem
y_{p2}'' + y_{p2}' = 2C e^x
e isso deve igualar 2e^x. Assim
2C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C = 1.

Resposta

A solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2 e^{-x} + \frac{5}{2}\,x^2 - 5x + e^x.

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