Questão 10. Verifique a fórmula do Teorema da divergência calculando a integral de superfície e a integral tripla. Seja
, onde
é a superfície do cubo limitado pelos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência para o campo
no cubo
com superfície fechada
. Segundo o Teorema da Divergência, devemos mostrar que
Passo 2
Calculamos a divergência de
. Por definição,
Como
,
e
, obtemos
Passo 3
Agora fazemos a integral tripla do lado direito:
Como a região é um cubo de aresta
,
Passo 4
Agora calculamos a integral de superfície
. A superfície
tem seis faces:
- Face
com : - Face
com : - Face
com : - Face
com : - Face
com : - Face
com :
Passo 5
Somando os fluxos das seis faces, obtemos
Comparando com o resultado da integral tripla, vemos que os dois valores coincidem.
Resposta
Logo, o Teorema da Divergência está validado.