Questão 10. Verifique a fórmula do Teorema da divergência calculando a integral de superfície e a integral tripla. Seja \boldsymbol{F}(x, y, z)=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}, onde \sigma é a superfície do cubo limitado pelos planos x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência para o campo
\boldsymbol{F}(x,y,z)=x\,\boldsymbol{i}+y\,\boldsymbol{j}+z\,\boldsymbol{k}
no cubo V=[0,1]\times[0,1]\times[0,1] com superfície fechada \sigma. Segundo o Teorema da Divergência, devemos mostrar que
\iint_{\sigma}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,dS = \iiint_{V}(\nabla\cdot\boldsymbol{F})\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \boldsymbol{F}. Por definição,
\nabla\cdot\boldsymbol{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(y)+\frac{\partial}{\partial z}(z).
Como \partial x/\partial x=1, \partial y/\partial y=1 e \partial z/\partial z=1, obtemos
\nabla\cdot\boldsymbol{F}=1+1+1=3.

Passo 3

Agora fazemos a integral tripla do lado direito:
\iiint_{V}(\nabla\cdot\boldsymbol{F})\,dV =\iiint_{0}^{1}\!\!\!\iiint_{0}^{1}\!\!\!\iiint_{0}^{1}3\,dx\,dy\,dz.
Como a região é um cubo de aresta 1,
\iiint_{V}3\,dV =3\cdot\Bigl(\text{volume do cubo}\Bigr) =3\cdot1=3.

Passo 4

Agora calculamos a integral de superfície \iint_{\sigma}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,dS. A superfície \sigma tem seis faces:
  1. Face x=1 com \boldsymbol{n}=(1,0,0): \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}=x\big|_{x=1}=1, \quad \text{área}=1\;\Rightarrow\;\text{fluxo}=1.á
  2. Face x=0 com \boldsymbol{n}=(-1,0,0): \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}=-x\big|_{x=0}=0, \quad \text{fluxo}=0.
  3. Face y=1 com \boldsymbol{n}=(0,1,0): \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}=y\big|_{y=1}=1, \quad \text{fluxo}=1.
  4. Face y=0 com \boldsymbol{n}=(0,-1,0): \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}=-y\big|_{y=0}=0, \quad \text{fluxo}=0.
  5. Face z=1 com \boldsymbol{n}=(0,0,1): \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}=z\big|_{z=1}=1, \quad \text{fluxo}=1.
  6. Face z=0 com \boldsymbol{n}=(0,0,-1): \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}=-z\big|_{z=0}=0, \quad \text{fluxo}=0.

Passo 5

Somando os fluxos das seis faces, obtemos
\iint_{\sigma}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,dS =1+0+1+0+1+0=3.
Comparando com o resultado da integral tripla, vemos que os dois valores coincidem.

Resposta

\displaystyle \iint_{\sigma}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\,dS=3
\displaystyle \iiint_{V}(\nabla\cdot\boldsymbol{F})\,dV=3
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