a) Determine a intensidade do campo elétrico em um ponto localizado a 1 m de uma carga de 4 \mu \mathrm{C}.
b) Determine a intensidade do campo elétrico em um ponto localizado a 1 mm [1/1.000 a distância da parte (a)] da mesma carga que a parte (a) e compare os resultados.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar a intensidade do campo elétrico num ponto a 1 m de uma carga de 4\\ \mu\mathrm{C}.
    • (b) Determinar a intensidade do campo elétrico num ponto a 1\\ \mathrm{mm} da mesma carga e comparar os resultados.
  • Dados fornecidos:
    • Carga: q=4\\ \mu\mathrm{C}.
    • Distância para (a): r_{1}=1\\ \mathrm{m}.
    • Distância para (b): r_{2}=1\\ \mathrm{mm}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (explicação didática passo a passo).
  • A intensidade (módulo) do campo elétrico criado por uma carga puntiforme em distância r é dada por
E = k\,\frac{|q|}{r^{2}}.
  • Onde:
    • E é a intensidade do campo elétrico em \mathrm{N/C}.
    • k é a constante eletrostática (constante de Coulomb), cujo valor no vácuo é aproximadamente k= \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \approx 8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
    • |q| é o valor absoluto da carga fonte em coulombs ( \mathrm{C}).
    • r é a distância do ponto à carga em metros ( \mathrm{m}).
  • Por que essa fórmula? Pela lei de Coulomb a força entre duas cargas puntiformes é \,F = k\dfrac{|qQ|}{r^{2}}. Se colocarmos uma carga de prova Q muito pequena, a força sobre ela é F e o campo é definido como E=F/Q, resultando em E=k|q|/r^{2}. Aqui queremos só a intensidade (módulo), por isso o valor absoluto de q.

Passo 3

Conversão de unidades e preparação dos números (muito importante).
  • Converter a carga de microcoulombs para coulombs:
q = 4\\ \mu\mathrm{C} = 4\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • As distâncias já em metros:
r_{1}=1\\ \mathrm{m},\qquad r_{2}=1\\ \mathrm{mm}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo detalhado da parte (a) — ponto a r_{1}=1\\ \mathrm{m}.
  • Aplicando a fórmula:
E_{1}=k\,\frac{|q|}{r_{1}^{2}}=\bigl(8{,}988\times10^{9}\bigr)\cdot\frac{4\times10^{-6}}{1^{2}}\\ \mathrm{N/C}.
  • Multiplicando passo a passo:
    • Produto das mantissas: 8{,}988\times4 = 35{,}952.
    • Soma dos expoentes de base 10: 10^{9}\cdot10^{-6}=10^{3}.
    • Portanto
E_{1}=35{,}952\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}=3{,}5952\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
  • Arredondando para três algarismos significativos (opcional):
E_{1}\approx3{,}60\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Cálculo detalhado da parte (b) — ponto a r_{2}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Método 1 (direto pela fórmula):
E_{2}=k\,\frac{|q|}{r_{2}^{2}}=\bigl(8{,}988\times10^{9}\bigr)\cdot\frac{4\times10^{-6}}{(1\times10^{-3})^{2}}\\ \mathrm{N/C}.
Calculemos o denominador: (1\times10^{-3})^{2}=1\times10^{-6}. Então
E_{2}=\bigl(8{,}988\times10^{9}\bigr)\cdot\frac{4\times10^{-6}}{1\times10^{-6}} =\bigl(8{,}988\times10^{9}\bigr)\cdot(4)=35{,}952\times10^{9}=3{,}5952\times10^{10}\\ \mathrm{N/C}.
Método 2 (usando a lei do inverso do quadrado, atalho rápido):
  • Como E\propto 1/r^{2}, reduzindo a distância em fator 1000 (de 1\\ \mathrm{m} para 1\\ \mathrm{mm}) o campo aumenta por um fator 1000^{2}=10^{6}.
  • Então E_{2}=10^{6}E_{1}=10^{6}\cdot3{,}5952\times10^{4}=3{,}5952\times10^{10}\\ \mathrm{N/C}.
  • Arredondando:
E_{2}\approx3{,}60\times10^{10}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Comparação entre os resultados e interpretação física (explicação didática).
  • Razão entre os campos:
\frac{E_{2}}{E_{1}}= \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{1}{1\times10^{-3}}\right)^{2}=10^{6}.
  • Interpretação: o campo elétrico no ponto a 1\\ \mathrm{mm} é um milhão de vezes maior que no ponto a 1\\ \mathrm{m}. Isso é consequência direta da lei do inverso do quadrado: aproximando-se da carga, o campo cresce muito rápido.
  • Direção: como a carga é positiva, o campo aponta radialmente para fora da carga (se fosse negativa, apontaria para a carga). Aqui pediram a intensidade, então reportamos o módulo.

Resposta

(a) E_{1}=3{,}5952\times10^{4}\\ \mathrm{N/C} (aprox. 3{,}60\times10^{4}\\ \mathrm{N/C})
(b) E_{2}=3{,}5952\times10^{10}\\ \mathrm{N/C} (aprox. 3{,}60\times10^{10}\\ \mathrm{N/C}); E_{2} é 10^{6} vezes maior que E_{1}.

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