Considerando as diferenças divididas, dada na tabela:
\begin{array}{rlrlr} x_{0}=0.0 & f\left[x_{0}\right] & & \\\ & & f\left[x_{0}, x_{1}\right] & \\\ x_{1}=0.4 & f\left[x_{1}\right] & & f\left[x_{0}, x_{1}, x_{2}\right]=\frac{50}{7} \\\ & & f\left[x_{1}, x_{2}\right]=10 & \\\ x_{2}=0.7 & f\left[x_{2}\right]=6 & \end{array}
Determine em cada iteração, os valores ausentes.
Determine o polinômio interpolador, na forma de Newton, sobre todos os pontos. Em seguida, calcule f(4.5).

Passo 1

Temos três pontos (x_{0},f[x_{0}]),(x_{1},f[x_{1}]),(x_{2},f[x_{2}]) com x_{0}=0.0, x_{1}=0.4, x_{2}=0.7. Na tabela de diferenças divididas faltam f[x_{0}], f[x_{1}] e f[x_{0},x_{1}]. Sabemos que
f[x_{1},x_{2}]=10 \quad\text{e}\quad f[x_{0},x_{1},x_{2}]=\frac{50}{7}.
O objetivo é (i) preencher a tabela, (ii) montar o polinômio interpolador de Newton, e (iii) calcular f(4.5).

Passo 2

Usando
f[x_{1},x_{2}] =\frac{f[x_{2}]-f[x_{1}]}{x_{2}-x_{1}} =10,
sendo f[x_{2}]=6 e x_{2}-x_{1}=0.7-0.4=0.3, obtemos
\frac{6 - f[x_{1}]}{0.3}=10 \quad\Longrightarrow\quad 6 - f[x_{1}]=3 \quad\Longrightarrow\quad f[x_{1}]=3.

Passo 3

Agora usamos a terceira diferença dividida
f[x_{0},x_{1},x_{2}] =\frac{f[x_{1},x_{2}]-f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}} =\frac{50}{7},
com f[x_{1},x_{2}]=10 e x_{2}-x_{0}=0.7. Logo
\frac{10 - f[x_{0},x_{1}]}{0.7}=\frac{50}{7} \quad\Longrightarrow\quad 10 - f[x_{0},x_{1}]=0.7\cdot\frac{50}{7}=5 \quad\Longrightarrow\quad f[x_{0},x_{1}]=5.

Passo 4

Finalmente, f[x_{0},x_{1}] também é
f[x_{0},x_{1}] =\frac{f[x_{1}]-f[x_{0}]}{x_{1}-x_{0}} =\frac{3 - f[x_{0}]}{0.4}=5 \quad\Longrightarrow\quad 3 - f[x_{0}]=2 \quad\Longrightarrow\quad f[x_{0}]=1.
Até aqui temos:
f[x_{0}]=1,\quad f[x_{1}]=3,\quad f[x_{2}]=6, \quad f[x_{0},x_{1}]=5,\quad f[x_{1},x_{2}]=10,\quad f[x_{0},x_{1},x_{2}]=\tfrac{50}{7}.

Passo 5

O polinômio de Newton de grau 2 é
P(x) = f[x_{0}] +f[x_{0},x_{1}]\,(x-x_{0}) +f[x_{0},x_{1},x_{2}]\,(x-x_{0})(x-x_{1}).
Substituindo os valores:
P(x) =1 + 5\,x + \frac{50}{7}\,x\,(x-0.4).
Expandindo:
P(x) =1+5x+\frac{50}{7}(x^2-0.4x) =1+\Bigl(5-\tfrac{20}{7}\Bigr)x+\frac{50}{7}x^2 =1+\frac{15}{7}x+\frac{50}{7}x^2.

Passo 6

Para x=4.5:
f(4.5)=P(4.5) =\frac{50}{7}(4.5)^2+\frac{15}{7}(4.5)+1 =\frac{1087}{7}\approx155{,}2857.

Resposta

f[x_{0}]=1,\quad f[x_{1}]=3,\quad f[x_{0},x_{1}]=5.
O polinômio de Newton é
P(x)=1+\frac{15}{7}\,x+\frac{50}{7}\,x^2,
e
f(4.5)=\frac{1087}{7}\approx155{,}2857.

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