Discuta a continidade da seguinte função:

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x,y)= 4x^2y^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), k,&(x,y)=(0,0),
Queremos discutir onde ela é contínua, ou seja, verificar continuidade em pontos fora da origem e na origem.

Passo 2

Para
(x,y)neq(0,0), a função é quociente de polinômios com denominador x^2+y^2neq0. Toda função racional com denominador não nulo é contínua, logo f é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Para estudar a continuidade em (0,0), precisamos calcular
lim(x,y)to(0,0) 4x^2y^2x^2+y^2
Usando coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, temos
4x^2y^2x^2+y^2=4r^4cos^2thetasin^2thetar^2=4r^2cos^2thetasin^2theta
Como 0<=cos^2thetasin^2theta<=1/4, obtemos
0<=4r^2cos^2thetasin^2theta<= r^2,
que tende a 0 quando rto0, independentemente de theta. Portanto
lim(x,y)to(0,0) 4x^2y^2x^2+y^2=0

Passo 4

Pela definição de continuidade, f será contínua em (0,0) exatamente quando k, valor atribuído na origem, coincidir com esse limite, ou seja k=0.

Resposta

A função é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0). Em (0,0) o limite existe e vale 0, de modo que f será contínua na origem se, e somente se, k=0.

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