Discuta a continidade da seguinte função:
Passo 1
O enunciado define a função por partes
Queremos discutir onde ela é contínua, ou seja, verificar continuidade em pontos fora da origem e na origem.
Passo 2
Para
, a função é quociente de polinômios com denominador
. Toda função racional com denominador não nulo é contínua, logo
é contínua em todos os pontos
.
Passo 3
Para estudar a continuidade em
, precisamos calcular
Usando coordenadas polares
Como
, obtemos
que tende a 0 quando
Passo 4
Pela definição de continuidade,
será contínua em
exatamente quando
, valor atribuído na origem, coincidir com esse limite, ou seja
.
Resposta
A função é contínua em todo ponto
. Em
o limite existe e vale 0, de modo que
será contínua na origem se, e somente se,
.