Usando as propriedades de limite e continuidade, calcule os limites abaixo. Cite as propriedades usadas.
lim (x, y) (1,1) x yx^2+y^2.

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular o limite de uma função de duas variáveis usando propriedades de limite e continuidade: lim(x,y)to(1,1)xyx^2+y^2.

Passo 2

Vamos observar que as funções envolvidas são polinômios ( x, y, x^2, y^2) e combinações soma e produto de polinômios também são polinômios. Polinômios são contínuos em todo R^2. Portanto, numerador e denominador são contínuos em (1,1).
Como o denominador não se anula no ponto de interesse (pois 1^2+1^2=2neq0), podemos aplicar a propriedade do limite do quociente de funções contínuas: se g(x,y)neq0 em um entorno de (a,b), então lim f/g=lim f,/lim g.

Passo 3

Agora aplicamos a continuidade (substituição direta):
lim(x,y)to(1,1)xy=1cdot1=1 e
lim(x,y)to(1,1)(x^2+y^2)=1^2+1^2=2.

Passo 4

Dividindo os resultados pelo teorema do quociente, o limite vale 1/2.

Resposta

1/2

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