Nos exercícios 13-22, mostre que as formas diferenciais nas integrais são exatas. Depois calcule as integrais.
integral(0,0,0)^(3,3,1) 2 x d x-y^2 d y-41+z^2 d z

Passo 1

A questão pede para mostrar que a forma diferencial ω=2x dx−y² dy−\frac{4}{1+z²} dz é exata e depois calcular a integral de linha de ω ao longo de um caminho qualquer ligando (0,0,0) a (3,3,1). O tema é formas diferenciais exatas em R^3 e o que vamos usar é o teste de fechadura (dω=0) e o teorema fundamental das integrais de formas exatas.

Passo 2

Uma 1-forma ω=M(x,y,z),dx+N(x,y,z),dy+P(x,y,z),dz em um domínio simplesmente conexo é exata se ela for fechada, ou seja, se satisfizer as condições de Clairaut: My=Nx, Mz=Px e Nz=Py. Aqui temos
M=2x, N=-y^2, P=-41+z^2
Calculando parciais, todos dão zero: ∂M∂y=0=∂N∂x,∂M∂z=0=∂P∂x,∂N∂z=0=∂P∂y. Como o domínio é todo R^3 (simplesmente conexo e sem singularidades de 1+z^2), concluímos que ω é exata.

Passo 3

Para encontrar a potencial f(x,y,z) tal que df=ω, integramos em cada variável mantendo as outras constantes. Integrando M=2x em x vem
$$f(x,y,z)=x^2+g(y,z).
f(x,y,z)=x^2+g(y,z) g(y,z)=-\frac{y^3}{3}+h(z).
fy=N=-y^2áh(z)=-4\arctan(z)+C.
gy=-y^2f(x,y,z)=x2-\frac{y3}{3}-4\arctan(z).
$$

Passo 4

Pelo teorema fundamental das integrais de formas exatas, a integral entre (0,0,0) e (3,3,1) vale
f(3,3,1)-f(0,0,0) =l(3^2-3^33-4arctan(1)r)-l(0-0-4arctan(0)r) =l(9-9-4tfracpi4r)-0 =-pi

Resposta

-\pi

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