Nos exercícios 13-22, mostre que as formas diferenciais nas integrais são exatas. Depois calcule as integrais.
Passo 1
A questão pede para mostrar que a forma diferencial ω=2x dx−y² dy−\frac{4}{1+z²} dz é exata e depois calcular a integral de linha de ω ao longo de um caminho qualquer ligando (0,0,0) a (3,3,1). O tema é formas diferenciais exatas em
e o que vamos usar é o teste de fechadura (dω=0) e o teorema fundamental das integrais de formas exatas.
Passo 2
Uma 1-forma
em um domínio simplesmente conexo é exata se ela for fechada, ou seja, se satisfizer as condições de Clairaut:
,
e
. Aqui temos
Calculando parciais, todos dão zero:
. Como o domínio é todo
(simplesmente conexo e sem singularidades de
), concluímos que
é exata.
Passo 3
Para encontrar a potencial
tal que
, integramos em cada variável mantendo as outras constantes. Integrando
em
vem
$$f(x,y,z)=x^2+g(y,z).
$$
Passo 4
Pelo teorema fundamental das integrais de formas exatas, a integral entre
e
vale
Resposta
-\pi