Discuta a continuidade das seguintes funções:
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2, se x^2+y^2+z^2 <= 1 e f(x, y, z)=0, se x^2+y^2+z^2>1

Passo 1

A função é dada por:
$$
f(x,y,z)= f(x,y,z)= x^2+y^2+z^2, &se x^2+y^2+z^2<=1, 0,&se x^2+y^2+z^2>1 $$
Conteúdo: continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver vamos usar que polinômios e funções constantes são contínuos e analisar o comportamento na fronteira da bola unitária.

Passo 2

No interior da bola unitária, ou seja, em todos os pontos que satisfazem x^2+y^2+z^2<1, temos
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
Como soma e produto de funções contínuas (polinômios) é contínuo, f é contínua em todo ponto com x^2+y^2+z^2<1.

Passo 3

No exterior da bola unitária, onde x^2+y^2+z^2>1, temos
f(x,y,z)=0
Função constante é contínua em todo o domínio, logo f é contínua em cada ponto com x^2+y^2+z^2>1.

Passo 4

Para um ponto p na fronteira, isto é, p=(x,y,z) com x^2+y^2+z^2=1, examinamos os limites. Aproximando p por dentro da bola, f(x,y,z)to1. Aproximando p por fora, f(x,y,z)to0. Esses dois limites laterais são diferentes, logo o limite de f em p não existe e, portanto, f não é contínua em qualquer ponto da esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 5

Juntando tudo: f é contínua em todos os pontos de R^3 com x^2+y^2+z^2neq1 e é descontínua exatamente na esfera x^2+y^2+z^2=1.

Resposta

f é contínua nos conjuntos (x,y,z):x^2+y^2+z^2<1 e (x,y,z):x^2+y^2+z^2>1, e descontínua na esfera x^2+y^2+z^2=1.

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