Discuta a continuidade das seguintes funções:
, se
e
, se
Passo 1
A função é dada por:
$$
f(x,y,z)=
$$
Conteúdo: continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver vamos usar que polinômios e funções constantes são contínuos e analisar o comportamento na fronteira da bola unitária.
Conteúdo: continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver vamos usar que polinômios e funções constantes são contínuos e analisar o comportamento na fronteira da bola unitária.
Passo 2
No interior da bola unitária, ou seja, em todos os pontos que satisfazem
, temos
Como soma e produto de funções contínuas (polinômios) é contínuo, f é contínua em todo ponto com
Passo 3
No exterior da bola unitária, onde
, temos
Função constante é contínua em todo o domínio, logo f é contínua em cada ponto com
Passo 4
Para um ponto p na fronteira, isto é,
com
, examinamos os limites. Aproximando p por dentro da bola,
. Aproximando p por fora,
. Esses dois limites laterais são diferentes, logo o limite de f em p não existe e, portanto, f não é contínua em qualquer ponto da esfera
.
Passo 5
Juntando tudo: f é contínua em todos os pontos de
com
e é descontínua exatamente na esfera
.
Resposta
f é contínua nos conjuntos
e
, e descontínua na esfera
.