Escreva na forma trigonométrica e exponencial os números complexos:
Passo 1
Beleza! A gente tem o número complexo $ z = 1 - i $ e precisa escrever ele de duas maneiras diferentes: na forma trigonométrica e na forma exponencial. Para isso, vamos usar alguns conceitos de números complexos, como módulo e argumento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o módulo de $ z $. O módulo de um número complexo $ z = a + b i $ é dado por:
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = -1 $. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o argumento de $ z $, que é o ângulo $ \theta $ que o número complexo forma com o eixo real no plano complexo. Podemos encontrar $ \theta $ usando a função arco-tangente:
Substituindo $ a = 1 $ e $ b = -1 $:
Como $ z $ está no quarto quadrante, o ângulo fica entre $ -\frac{\pi}{2} $ e $ 0 $.
Passo 4
Com o módulo e o argumento, podemos escrever a forma trigonométrica de $ z $:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos escrever a forma exponencial de $ z $. A forma exponencial usa a fórmula de Euler:
Substituindo os valores:
Resposta
Portanto, o número complexo $ z = 1 - i $ pode ser escrito da seguinte forma:
- Forma Trigonométrica:
- Forma Exponencial: