Escreva na forma trigonométrica e exponencial os números complexos:
z=1-i

Passo 1

Beleza! A gente tem o número complexo $ z = 1 - i $ e precisa escrever ele de duas maneiras diferentes: na forma trigonométrica e na forma exponencial. Para isso, vamos usar alguns conceitos de números complexos, como módulo e argumento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo de $ z $. O módulo de um número complexo $ z = a + b i $ é dado por:
z
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = -1 $. Então:
z = a + b i

Passo 3

Agora, vamos calcular o argumento de $ z $, que é o ângulo $ \theta $ que o número complexo forma com o eixo real no plano complexo. Podemos encontrar $ \theta $ usando a função arco-tangente:
z
Substituindo $ a = 1 $ e $ b = -1 $:
theta
Como $ z $ está no quarto quadrante, o ângulo fica entre $ -\frac{\pi}{2} $ e $ 0 $.

Passo 4

Com o módulo e o argumento, podemos escrever a forma trigonométrica de $ z $:
z
Substituindo os valores que encontramos:
z = r ( cos(theta) + i sin(theta) )

Passo 5

Agora, vamos escrever a forma exponencial de $ z $. A forma exponencial usa a fórmula de Euler:
z
Substituindo os valores:
z = r e^itheta

Resposta

Portanto, o número complexo $ z = 1 - i $ pode ser escrito da seguinte forma:
  • Forma Trigonométrica:
z = 1 - i
  • Forma Exponencial:
z = raiz2 ( cos(-pi4) + i sin(-pi4) )

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