Discuta a continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=exp [1 /(x^2+y^2-1)], se x^2+y^2<1 e f(x, y)=0, se x^2+y^2 >= 1

Passo 1

Queremos discutir a continuidade da função definida por partes em $\mathbb{R}^2$, onde
f(x,y)=\exp\bigl[1/(x2+y2-1)\bigr]\ se\ x2+y2<1\ e f(x,y)=0\ se\ x2+y2\ge1.
O conteúdo é continuidade de funções em várias regiões e na fronteira entre elas; vamos usar a definição de limite e propriedades de funções contínuas.

Passo 2

Na região interior $(x2+y2<1)$, temos $f(x,y)=\exp(1/(x2+y2-1))$. A composição das funções $ (x,y)\mapsto x2+y2-1$, reciprocidade e exponencial é contínua sempre que o denominador é diferente de zero. Como $x2+y2-1<0$ nessa região, o denominador nunca é zero e, portanto, $f$ é contínua para $x2+y2<1$.

Passo 3

Na região exterior $(x2+y2>1)$, temos $f(x,y)=0$, que é uma função constante. Qualquer função constante é contínua, logo $f$ é contínua para $x2+y2>1$.

Passo 4

Falta analisar a fronteira $(x2+y2=1)$. Seja $(x_0,y_0)$ com $x_02+y_02=1$ e calculemos o limite de $f(x,y)$ quando $ (x,y)$ se aproxima de $ (x_0,y_0)$ por dentro e por fora do disco.
Pela parte interna, quando $x2+y2\to1^-$ temos $x2+y2-1\to0^-$ e, portanto,
(x^2+y^2=1)
Pela parte externa, $f(x,y)$ é continuamente igual a zero. Logo, o limite em qualquer direção é zero e coincide com $f(x_0,y_0)=0$.

Passo 5

Como $f$ é contínua nas três regiões — interior do disco, exterior do disco e fronteira — concluímos que $f$ é contínua em todo $\mathbb{R}^2$.

Resposta

A função f é contínua em todo $\mathbb{R}^2$.

Exercícios relacionados