Mostre que a EDO é exata e encontre a solução.

Passo 1

O enunciado dá a EDO 2 x y^2+2 y+(2 x^2 y+2 x) y'=0 e pede para mostrar que ela é uma equação exata e achar sua solução geral. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas: precisamos verificar a condição de exatidão e depois construir a função potencial Psi(x,y).

Passo 2

Identificamos as funções M(x,y) = 2 x y^2 + 2 y e N(x,y) = 2 x^2 y + 2 x de modo que a EDO fica M + N y'=0. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4 x y + 2,
partial Npartial x = 4 x y + 2
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar a solução, buscamos Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M = 2 x y^2 + 2 y
Integrando em relação a x:
Psi(x,y) = integral (2 x y^2 + 2 y),dx = x^2y^2 + 2 x y + h(y),
onde h(y) é função de y só. Agora impomos
partial Psipartial y = 2 x^2 y + 2 x + h'(y) = N = 2 x^2 y + 2 x
Logo h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante. Assim a solução implícita é
Psi(x,y)=x^2y^2+2xy = C

Resposta

x{2}y{2} + 2xy = C

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