Utilize a técnica de integração adequada e calcule as seguintes integrais indefinidas:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
O conteúdo principal é integrar uma função racional. A técnica adequada aqui é a decomposição em frações parciais, que transforma a expressão num soma de parcelas mais simples que a gente já sabe integrar (logaritmos e arctan).
Passo 2
Assumimos que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos a identidade
Passo 3
Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes com
Logo
e
.
Passo 4
Substituindo os valores de
na decomposição, fica
Então a integral original separa em
Passo 5
Agora integramos cada parcela:
-
. - Para
, fazemos , então , resultando em . -
.
Juntando tudo (e lembrando do sinal menos da terceira parcela), temos