Utilize a técnica de integração adequada e calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{5 x^{2}-x+3}{x\left(x^{2}+1\right)} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{5x^{2}-x+3}{x\,(x^{2}+1)}\,dx.
O conteúdo principal é integrar uma função racional. A técnica adequada aqui é a decomposição em frações parciais, que transforma a expressão num soma de parcelas mais simples que a gente já sabe integrar (logaritmos e arctan).

Passo 2

Assumimos que
\frac{5x^{2}-x+3}{x\,(x^{2}+1)} \;=\; \frac{A}{x} \;+\;\frac{B\,x + C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por x\,(x^{2}+1), obtemos a identidade
5x^{2}-x+3 = A\,(x^{2}+1) + (B\,x + C)\,x.

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A\,x^{2} + A + B\,x^{2} + C\,x = (A+B)\,x^{2} + C\,x + A.
Comparando coeficientes com 5x^{2}-x+3\): \[\begin{cases} A + B = 5,\\\ C = -1,\\\ A = 3. \end{cases}
Logo A=3\], \(C=-1 e B=5-A=2.

Passo 4

Substituindo os valores de A,B,C na decomposição, fica
\frac{5x^{2}-x+3}{x\,(x^{2}+1)} = \frac{3}{x} + \frac{2x - 1}{x^{2}+1}.
Então a integral original separa em
\int \frac{5x^{2}-x+3}{x\,(x^{2}+1)}\,dx = \int \frac{3}{x}\,dx + \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx - \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 5

Agora integramos cada parcela:
  1. \displaystyle \int \frac{3}{x}\,dx = 3\,\ln\lvert x\rvert.
  2. Para \displaystyle \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx, fazemos u=x^{2}+1, então du=2x\,dx, resultando em \ln(x^{2}+1).
  3. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.
Juntando tudo (e lembrando do sinal menos da terceira parcela), temos
\int \frac{5x^{2}-x+3}{x\,(x^{2}+1)}\,dx = 3\ln\lvert x\rvert \;+\;\ln(x^{2}+1)\;-\;\arctan x \;+\; C.

Resposta

3\ln\lvert x\rvert + \ln(x^{2}+1) - \arctan x + C.

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