Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^{n}}{5^{n}+3}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^{n}}{5^{n}+3}.
Vamos usar o teste da razão, que diz que se
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
existe e satisfaz L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente (e, portanto, converge).

Passo 2

Tomando
a_n = \frac{4^n}{5^n+3},
calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{4^{n+1}}{5^{n+1}+3}}{\displaystyle\frac{4^n}{5^n+3}} =4\;\frac{5^n+3}{5^{n+1}+3}.
Para n\to\infty, 5^n domina 3, logo
\frac{5^n+3}{5^{n+1}+3} = \frac{5^n\bigl(1+3/5^n\bigr)}{5^n\bigl(5+3/5^n\bigr)} \;\longrightarrow\;\frac{1}{5}.
Portanto
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =4\cdot\frac{1}{5} =\frac{4}{5}<1.
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente, e assim converge.

Resposta

A série converge.

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