Verifique se o critério da integral pode ou não ser aplicado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\operatorname{sen} n}{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin n}{n}
pode ser analisada pelo critério da integral. Esse critério exige que a sequência a_n=f(n) venha de uma função f(x) que seja, em [1,\infty), positiva, contínua e decrescente.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{2+\sin x}{x},\quad x\ge1.
Observe que para todo x\ge1 temos 2+\sin x\ge1, logo f(x)>0. Além disso, f é contínua em [1,\infty) porque numerador e denominador são funções contínuas e o denominador nunca zera.

Passo 3

Agora checamos a monotonicidade de f. Pelo quociente,
f'(x) =\frac{x\cos x-\bigl(2+\sin x\bigr)}{x^2}.
Para ver se f'(x) muda de sinal, note
  • Se x=2k\pi com k\ge1, então \cos x=1 e \sin x=0,
x\cos x-(2+\sin x) =x-2>0.
  • Se x=(2k+1)\pi, então \cos x=-1 e \sin x=0,
x\cos x-(2+\sin x) =-x-2<0.
Logo f'(x) é às vezes positiva e às vezes negativa, o que mostra que f não é decrescente em [1,\infty).

Resposta

O critério da integral não pode ser aplicado, pois a função f(x)=\tfrac{2+\sin x}{x} não é monotonicamente decrescente.

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