Verifique se o critério da integral pode ou não ser aplicado:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\operatorname{sen} n}{n}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o critério da integral pode ser aplicado à série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\operatorname{sen} n}{n}\right)^{2}.
O conteúdo envolvido é o Critério da Integral, que exige definir uma função contínua, positiva e monotona decrescente f(x) tal que f(n)=a_n, e então estudar a convergência de
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 2

Escolhemos
f(x)=\left(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right)^{2}.
Primeiro, observamos que f(x)\ge0 para todo x\ge1 e que f é contínua em [1,\infty), pois é composta de funções contínuas.

Passo 3

Entretanto, para usar o Critério da Integral precisamos também que f seja monotona decrescente em [1,\infty). Note que o fator \operatorname{sen}^2 x oscila entre 0 e 1, o que faz com que f(x) não seja decrescente: em cada intervalo de comprimento \pi ela sobe e desce.

Passo 4

Como f(x) não é monotona decrescente em [1,\infty), o Critério da Integral não pode ser aplicado diretamente para a série dada.

Resposta

O Critério da Integral não pode ser aplicado, pois a função f(x)=(\operatorname{sen} x/x)^2 não é monotona decrescente em [1,\infty).

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