Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln n}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede discutir a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln n}{n+1}.
Este é um problema sobre séries infinitas e vamos usar principalmente o teste de comparação e o teste da integral.

Passo 2

Observamos o comportamento assintótico do termo geral
a_n = \frac{\ln n}{n+1}.
Para n grande tem-se n+1\sim n, de modo que
a_n \sim \frac{\ln n}{n}.
Isso sugere comparar com a série \sum \ln(n)/n.

Passo 3

Para n\ge2 vale
n+1 \le 2n \quad\Longrightarrow\quad \frac1{n+1}\ge\frac1{2n}.
Logo
\frac{\ln n}{n+1}\;\ge\;\frac12\;\frac{\ln n}{n}.
Isso mostra que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n+1} \;\ge\;\frac12\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n}.

Passo 4

Mostramos que \sum \ln(n)/n diverge pelo teste da integral. Considere
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx.
Fazendo u=\ln x implica du=dx/x, então
\int_{2}^{M}\frac{\ln x}{x}\,dx =\int_{\ln2}^{\ln M}u\,du =\frac{1}{2}\bigl(\ln M\bigr)^{2}-\frac{1}{2}(\ln2)^{2}.
À medida que M\to\infty, \tfrac12(\ln M)^2\to\infty. Portanto a integral diverge e, por consequência, \sum \ln(n)/n diverge.

Passo 5

Pela desigualdade do Passo 3, como \sum \ln(n)/n diverge, a série original \sum \ln(n)/(n+1) também diverge por comparação de séries de termos positivos.

Resposta

A série diverge.

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