Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede discutir a convergência da série de termos positivos
Este é um problema sobre séries infinitas e vamos usar principalmente o teste de comparação e o teste da integral.
Passo 2
Observamos o comportamento assintótico do termo geral
Para
grande tem-se
, de modo que
Isso sugere comparar com a série
.
Passo 3
Para
vale
Logo
Isso mostra que
Passo 4
Mostramos que
diverge pelo teste da integral. Considere
Fazendo
implica
, então
À medida que
,
. Portanto a integral diverge e, por consequência,
diverge.
Passo 5
Pela desigualdade do Passo 3, como
diverge, a série original
também diverge por comparação de séries de termos positivos.
Resposta
A série diverge.