Discuta a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}.
O conteúdo é “séries numéricas” e, como os termos são positivos, um critério eficiente é o Critério da Razão.

Passo 2

Aplicamos o Critério da Razão a a_{n} = \frac{1}{n!}.
Calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{1}{(n+1)!}}{\tfrac{1}{n!}} \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!} \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} \;=\;0.
Como L=0<1, pela razão a série converge absolutamente.

Passo 3

Além de convergir, essa série é famosa por ter soma
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e,
onde e\approx2,71828.

Resposta

A série converge absolutamente (e, de fato, seu valor é e).

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