Com os resultados listados acima, estabeleça se a sequência ( a_{n} ) abaixo converge ou diverge, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
a_{n}=n \tan \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = n \,\tan\!\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr),
e pede para verificar se (a_{n}) converge ou diverge, indicando o critério usado, e, se convergir, calcular o limite.

Passo 2

Vamos usar o limite fundamental de funções:
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1.
Esse resultado vale porque, para x próximo de zero, \tan x é equivalente a x.

Passo 3

Reescrevemos a_{n} de forma a expor esse quociente:
a_{n} = n \,\tan\!\Bigl(\tfrac{1}{n}\Bigr) = \frac{\tan\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}}.

Passo 4

Como \tfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, aplicamos o limite fundamental:
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\tan\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}} = 1.
Logo, a sequência converge e seu limite é 1.

Resposta

A sequência (a_{n}) é convergente e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 1,
usando o critério do limite \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1.

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