Discuta a convergência ou divergência das sequências abaixo analisando se são monótonas e/ou limitadas.
h) s_{n}=\sum_{k=1}^{n}[1 /(k(k+1))]
Sugestão \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k(k+1)}.

Passo 1

O enunciado define a sequência
s_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}
e pede para discutir convergência ou divergência, analisando se (s_n) é monótona e/ou limitada. Vamos precisar usar a ideia de soma telescópica, reescrevendo
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}.

Passo 2

Usando a sugestão, escrevemos
s_{n} = \sum_{k=1}^{n} \Bigl(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\Bigr).
Essa soma telescópica cancela termos intermediários, ficando
s_{n} = \bigl(1 - \tfrac12\bigr) + \bigl(\tfrac12 - \tfrac13\bigr) + \cdots + \bigl(\tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{n+1}\bigr) = 1 - \frac{1}{n+1}.

Passo 3

Para verificar a monotonicidade, note que cada termo \tfrac{1}{k(k+1)} é positivo. Logo
s_{n+1} - s_{n} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0,
o que mostra que (s_{n}) é estritamente crescente.

Passo 4

Analisando limites pelo termo geral, temos
s_{n} = 1 - \frac{1}{n+1} < 1
e também s_n>0. Logo a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.

Passo 5

Uma sequência crescente e limitada superiormente é convergente. Calculando o limite de s_{n}=1 - \frac{1}{n+1} quando n\to\infty, obtemos
\lim_{n\to\infty} s_{n} = 1 - 0 = 1.

Resposta

A sequência (s_n) é monótona crescente e limitada (por 0 e 1), portanto converge; seu limite é 1.

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