Discuta a convergência ou divergência das sequências abaixo analisando se são monótonas e/ou limitadas.
h)
Sugestão
.
h)
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para discutir convergência ou divergência, analisando se
é monótona e/ou limitada. Vamos precisar usar a ideia de soma telescópica, reescrevendo
Passo 2
Usando a sugestão, escrevemos
Essa soma telescópica cancela termos intermediários, ficando
Passo 3
Para verificar a monotonicidade, note que cada termo
é positivo. Logo
o que mostra que
é estritamente crescente.
Passo 4
Analisando limites pelo termo geral, temos
e também
. Logo a sequência é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 5
Uma sequência crescente e limitada superiormente é convergente. Calculando o limite de
quando
, obtemos
Resposta
A sequência
é monótona crescente e limitada (por
e
), portanto converge; seu limite é
.