a) Suponha que a_{n} \rightarrow a e que b_{n} \rightarrow b. Mostre que se a_{n} \leq b_{n} então a \leq b.
b) É verdade que se a_{n}<b_{n} então a<b ?

Passo 1

O enunciado trata de duas sequências reais \{a_n\} e \{b_n\} tais que
a_n \to a, \qquad b_n \to b,
e assume-se a_n \le b_n para todo n. Precisamos usar a definição de limite de sequência e as propriedades de ordem dos números reais para mostrar que a \le b. Na segunda parte, veremos se a desigualdade estrita se preserva no limite.

Passo 2

Para (a), fazemos prova por contradição. Suponha que, ao contrário,
a > b.
Defina
\delta = a - b > 0.
Como a_n \to a, existe N_1\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_1,
|a_n - a| < \frac{\delta}{2} \quad\Longrightarrow\quad a_n > a - \frac{\delta}{2} = b + \frac{\delta}{2}.
De modo análogo, como b_n \to b, existe N_2\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_2,
|b_n - b| < \frac{\delta}{2} \quad\Longrightarrow\quad b_n < b + \frac{\delta}{2}.
Tomando N = \max\{N_1,N_2\}, para todo n\ge N temos
a_n > b + \frac{\delta}{2} \quad\text{e}\quad b_n < b + \frac{\delta}{2} \;\;\Longrightarrow\;\; a_n > b_n,
o que contradiz a hipótese a_n \le b_n.

Passo 3

A contradição mostra que não é possível ter a>b. Logo a \le b. Quanto à parte (b), perguntamos se a hipótese a_n < b_n sempre força a<b. A resposta geral é não, pois podemos ter igualdade no limite.

Passo 4

Um contraexemplo simples é
a_n = \frac{1}{n}, \quad b_n = \frac{2}{n}.
Claramente a_n < b_n para todo n, mas
a_n \to 0, \quad b_n \to 0,
logo a = b = 0, não a<b.

Resposta

a) a \le b.
b) Não. Por exemplo, com a_n=1/n e b_n=2/n temos a_n<b_n para todo n mas a=b=0.

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