Encontre o limite das sequências abaixo fazendo a interpretação geométrica das mesmas:
b) a_{n}=\int_{1}^{n} \frac{1}{x^{\alpha}} d x, \alpha \neq 1

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \int_{1}^{n} \frac{1}{x^{\alpha}}\,dx,
com \alpha\neq1, e pede o limite de a_{n} quando n\to\infty. Geometricamente, \int_{1}^{n}x^{-\alpha}dx é a área sob a curva y=x^{-\alpha} entre x=1 e x=n. Para decidir se essa área permanece finita ou cresce sem limite, vamos tratar a integral imprópria \int_{1}^{\infty}x^{-\alpha}dx.

Passo 2

Calculemos a primitiva de x^{-\alpha}. Como \alpha\neq1, temos
\int x^{-\alpha}\,dx = \int x^{(-\alpha)}\,dx = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} + C.

Passo 3

Aplicando o teorema fundamental do cálculo de x=1 até x=n, obtemos
a_{n} = \int_{1}^{n} x^{-\alpha}\,dx = \left.\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right|_{1}^{n} = \frac{n^{1-\alpha}-1^{\,1-\alpha}}{1-\alpha} = \frac{n^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}.

Passo 4

Agora estudamos \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}. Há duas situações:
  • Se \alpha>1, então 1-\alpha<0, logo n^{1-\alpha}\to0 quando n\to\infty. Assim
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{0-1}{1-\alpha} = \frac{1}{\alpha-1},
o que significa que a área total sob y=x^{-\alpha} de 1 a \infty é finita.
  • Se \alpha<1, então 1-\alpha>0, logo n^{1-\alpha}\to\infty quando n\to\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty}a_{n} = +\infty,
indicando que a área diverge.

Resposta

Para \alpha>1: \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{1}{\alpha-1}.
Para \alpha<1: \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n} = +\infty.

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