Encontre o limite das sequências abaixo fazendo a interpretação geométrica das mesmas:
b) a_{n}=\int_{1}^{n} \frac{1}{x^{\alpha}} d x, \alpha \neq 1
Passo 1
O enunciado define a sequência
a_{n} = \int_{1}^{n} \frac{1}{x^{\alpha}}\,dx,
com \alpha\neq1, e pede o limite de a_{n} quando n\to\infty. Geometricamente, \int_{1}^{n}x^{-\alpha}dx é a área sob a curva y=x^{-\alpha} entre x=1 e x=n. Para decidir se essa área permanece finita ou cresce sem limite, vamos tratar a integral imprópria \int_{1}^{\infty}x^{-\alpha}dx.
Passo 2
Calculemos a primitiva de x^{-\alpha}. Como \alpha\neq1, temos
\int x^{-\alpha}\,dx = \int x^{(-\alpha)}\,dx = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} + C.
Passo 3
Aplicando o teorema fundamental do cálculo de x=1 até x=n, obtemos