Quais das sequências ( a_{n} ) abaixo convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
g) a_{n}=\frac{1+\sqrt{2 n}}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede analisar a convergência da sequência \displaystyle a_{n}=\frac{1+\sqrt{2n}}{\sqrt{n}}
e, se convergir, determinar seu limite. Vamos usar propriedades de limites de sequências e manipulação algébrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por \sqrt{n}:
a_{n} =\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{\sqrt{2n}}{\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{2}.

Passo 3

Aplicamos o limite em cada parcela, lembrando que \lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{\sqrt{n}}=0 e \sqrt{2} é constante. Logo,
\lim_{n\to\infty}a_{n} =0+\sqrt{2} =\sqrt{2}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\sqrt{2}.

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